Freie, harmonische Schwingungen

Gegeben sind zwei ideale Schraubenfedern. Ihre Federkonstanten sind und . Welchen Wert hat jeweils die resultierende Federkonstante , wenn die beiden Federn

1. hintereinander ('Reihenschaltung') bzw.

2. parallel zueinander gehängt ('Parallelschaltung') werden?
   Die Eigenmassen der beiden Federn sollen dabei vernachlässigt werden.

3. Wie lauten die Beziehungen für die Schwingungsdauern eines Feder-Masse-Systems für die beiden Konfigurationen, wenn an die Federn jeweils ein Körper der Masse angehängt wird?

Ein Fadenpendel mit einer angenommenen Periodendauer von wird als Uhr benutzt, die damit aber tatsächlich am Tag um 10 s nachgeht.

1. Um welche Strecke muß die Fadenlänge geändert werden, um den Gang zu korrigieren?
2. Für kleine Winkelauslenkungen ist die relative Abweichung der tatsächlichen Periodendauer von der Kleinwinkelnäherung gegeben zu . Bei welcher horizontalen Schwingungsamplitude würden die tatsächlichen Periodendauern über einen Tag summiert gegenüber der Kleinwinkelnäherung um 10 s abweichen?

Ein Gewicht der Masse m hängt an einer Feder mit der Federkonstanten D. Ist es um die Strecke s aus seiner Ruhelage entfernt, so wirkt die Rückstellkraft

Dabei erfährt das Gewicht eine Beschleunigung a, die die Trägheitskraft zur Folge hat. Insgesamt muss gelten.

Bestimme die Periodendauer und die Frequenz der Schwingung, die entsteht, wenn man ein Gewicht der Masse an eine Feder mit um aus seiner Ruhelage entfernt und dann loslässt.

Ein Flüssigkeitspendel, auch bekannt als schwingende Flüssigkeitssäule, ist im Allgemeinen ein U-Rohr, in dem eine anfangs aus der Gleichgewichtslage ausgelenkte Flüssigkeitssäule schwingt. In der Abbildung sieht man den Aufbau des Versuchs.

1. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung.
   Beachten Sie, dass die Flüssigkeitssäule im U-Rohr einen Zylinder darstellt. Die Größen und lassen sich somit durch die Dichte der Flüssigkeit, die Querschnittsfläche A des U-Rohrs, und der Länge L ausdrücken.
2. Die Bewegungsgleichung ist eine Differentialgleichung Ordnung, die noch zwei Anfangsbedingungen zu ihrer kompletten Lösung erfordert. Gib diese beiden Anfangsbedingungen an.
3. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Zeit-Ort-Funktion mit geeignet gewähltem die Bewegungsgleichung erfüllt.
   Gib den geeigneten Term für an und bestimme den Wert so, dass diese ZeitOrt-Funktion auch die beiden Anfangsbedingungen erfüllt.
4. Die Flüssigkeitssäule eines Flüssigkeitspendels habe die Länge . Berechne die Schwinungsdauer dieses Flüssigkeitspendels.

Eine zylindrische Scheibe mit einem Radius und einer Masse von habe eine homogene Massendichte. In der Entfernung vom Mittelpunkt der Scheibe befindet sich ein kleines Loch, an dem man die Scheibe aufhängen kann.

1. Wie groß muss sein, damit die Schwingungsdauer dieses physikalischen Pendels beträgt?
2. Wie muss man wählen, damit die Schwingungsdauer minimal wird? Wie groß ist diese minimale Schwingungsdauer?

Eine Olive (Masse ) wird in ein parabelförmiges Glas fallen gelassen und beginnt reibungsfrei in -Richtung hin- und herzuschwingen. Den Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im tiefsten Punkt des Glases.

1. Wie groß ist die potentielle Energie der Olive?
2. Berechnen Sie aus die Rückstellkraft und leiten Sie die Differentialgleichung für die Bewegung der Olive in -Richtung her.
3. Mit welcher Kreisfrequenz schwingt die Olive im Glas?
4. Was ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

Eine dünne Stange (Masse und Längen ) ist am oberen Ende drehbar aufgehängt. Zusätzlich ist eine Feder (Federkonstante ) auf halber Höhe angebracht. Die Feder ist entspannt, wenn die Stange vertikal ausgerichtet ist.

1. Welches gesamte Drehmoment wirkt auf dieses Stangenpendel, wenn es um einen kleinen Winkel ausgelenkt wird? (nur 1. Ordnung von )
2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
3. Mit welcher Frequenz schwingt das Pendel?
4. Stellen Sie das Ergebnis in dimensionslos dar, indem sie angeben, wobei die Frequenz für ist. Geben Sie einen Näherungsausdruck an, der dann gültig ist, wenn eine kleine Größe ist.

Hinweis: Trägheitsmoment einer Stange für Rotation um den Schwerpunkt ist

Ein dünner ausbalancierter Waagebalken mit Masse und Länge werde über zwei Federn mit dem besten Boden verbunden. Die beiden gleichen Federn (Federkonstante ) seien symmetrisch im Abstand vom Zentrum der Waage angebracht und vertikal ausgerichtet.

1. Welches Rückstellende Drehmoment wirkt, wenn der Balken um einen kleinen Winkel gekippt wird? Geben Sie einen Näherungsausdruck an, der linear in ist.
2. Wie hängt die Winkelbeschleunigung mit dem kleinen Winkel zusammen?
3. Welche Schwingungsperiode hat die Kippschwingung des Balkens?
4. Für die Anordnung seien Zahlenwerte und gegeben. Für die Schwingungsperiode werde s gemessen. Was ergibt sich hieraus für die Federkonstante

Eine Kugel mit Radius und Dichte hängt an einer Feder im Bad, welches mit einer Flüssigkeit gefüllt ist. Die Flüssigkeit hat eine Dichte , Zähigkeit und die Feder eine Federkonstante .

1. Berechnen Sie die Gesamtkraft und bestimmen Sie daraus die Differentialgleichung (DGL) für die Beschleunigung der Kugel. Verwende und .
2. Verwenden Sie für die Lösung der homogenen DGL folgenden Ansatz: . Bestimmen Sie die Konstante und daraus die Lösung, die für den Fall gilt.
   Hinweis: Durch Verwendung der Euler'schen Formel kann auch in der Form geschrieben werden, und sind beliebige reelle Zahlen.
3. Für eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung soll eine konstante Funktion angenommen werden. Wie lautet nun die gesamte Lösung der DGL?
4. Nehmen Sie nun (inhomogener Teil der DGL fällt dadurch weg) an und bestimme die Konstanten durch die Anfangsbedingungen und

Zwei Drehscheiben (Masse , Radius ) werden durch sechs gleiche Federn (Federkonstante ) festgehalten. Die Federn verbinden dabei den Rand der Scheiben mit den Wänden und üben auf die Scheiben Kräfte in tangentialer Richtung aus. Wir beschränken uns auf kleine Winkelauslenkungen aus der Gleichgewichtslage.

1. Welche Drehmomente und wirken auf die beiden Scheiben?
2. Führen Sie die Koordinaten und ein. Wie lauten damit die Bewegungsgleichungen für das System für die gleichphasige Schwingung und für die gegenphasige Schwingung
3. Welche Frequenzen und haben die gleich- bzw. gegenphasige Schwingung?
4. Nun seinen die Zahlenwerte und gegeben, Berechnen Sie die Periodendauer der gegenphasigen Schwingung.

Hinweis: Trägheitsmoment einer Scheibe bzgl. der Symmetrieachse .

Bei der Bestimmung der Federkonstanten einer Schraubenfeder misst man für eine wirkende äußere Kraft eine Verlängerung der Feder um .

Nach Bestimmung der Federkonstanten wird, in horizontaler Anordnung; (vgl. Abbildung) ein Körper (Masse ) am Ende der Feder befestigt und aus der Ruhelage der Feder um auf einer ideal reibungsfreien Unterlage ausgelenkt. Danach wird der Körper ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen.
Der Körper führt anschließend ungedämpfte harmonische Schwingungen aus.

1. Welche Federkonstante hat die Feder?

2. Welchen Betrag hat die Kraft, den die Feder auf den Körper zum Zeitpunkt ausübt, in welchem er losgelassen wird?

3. Geben Sie die Schwingungsdauer , die Eigenfrequenz und die Eigenkreisfrequenz des Feder-Masse-Systems an.

4. Bestimmen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel der ungedämpften harmonischen Schwingung.

5. Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz für die Bewegung dieses Systems an.

6. Welche Maximalgeschwindigkeit hat der schwingende Körper?

7. Welche Maximalbeschleunigung hat der schwingende Körper?

8. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die kinetische und potentielle Energie für den Punkt der Bahnkurve, der gerade in der Mitte von Anfangslage und Gleichgewichtslage liegt.

9. Welche Gesamtenergie hat das Feder-Masse-System?

Ein Federpendel schwingt ungedämpft harmonisch. Die Amplitude seiner Schwingungen ist .
Bei welcher Auslenkung aus der Ruhelage ist die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers gerade gleich seiner halben Maximalgeschwindigkeit?

In einem Experiment wird die Schwingung eines Körpers (Masse ), der am Ende einer Schraubenfeder befestigt ist, beobachtet. Die Dämpfung des Systems ist sehr klein. Die beobachteten Schwingungen dürfen deshalb zunächst als ungedämpft betrachtet werden.
Experimentell gemessen wurde die Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Masse des Körpers. Als Mittelwert aus jeweils mehreren Messungen erhielt man:

Aus diesen Messwerten soll die Federkonstante der Schraubenfeder bestimmt werden. Diese Messmethode heißt 'dynamische Bestimmung der Federkonstante'.

1. Tragen Sie auf Millimeterpapier in passendem Maßstab das Quadrat der gemessenen Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Masse des angehängten Körpers auf.

2. Legen Sie durch die eingezeichneten Messpunkte eine ausgleichende Gerade (dem entspricht eine grafische Mittelung der Messfehler).
   Zeigen Sie, dass sich aus der Steigung der Geraden des Diagramms die Federkonstante der Schraubenfeder bestimmen lässt.

3. In der Tabelle der Messwerte sind nur die Massen der jeweils angehängten Körper eingetragen, die Eigenmasse der Schraubenfeder ist nicht berücksichtigt. Bestimmen Sie aus der grafischen Darstellung (vgl. Teilaufgabe (a)) für einen Ersatzschwinger eine effektive Federmasse so, dass diese effektive Federmasse, an eine masselose Feder gehängt, die gleiche Schwingungsdauer hätte.

Ein mit Schrot beschwertes Reagenzglas (konstanter Querschnitt , Gesamtmasse (Glas und Schrot) ) schwimmt aufrecht in Wasser.

Das Reagenzglas wird mit dem Daumen etwas tiefer gedrückt und dann losgelassen. Anschließend führt es Schwingungen in vertikaler Richtung aus.

1. Zeigen Sie, dass diese Schwingungen harmonisch sind.
   Dabei soll idealisierend sowohl die Bewegung der Flüssigkeit als auch die Reibung durch die Flüssigkeit vernachlässigt werden.

2. Welche Schwingungsdauer hat das beschriebene System?

3. Wie hängt die Schwingungsdauer vom Querschnitt des Reagenzglases ab?
   Angenommen, der Querschnitt des Reagenzglases werde verdoppelt.

4. Begründen Sie, warum entsprechende Schwingungen einer Kugel - im Vergleich zu einem Reagenzglas - keine harmonischen Schwingungen ergeben.

Ein Reifen - ein sehr dünnwandiger Kreisring - hat einen Durchmesser und die Masse .
Der Reifen wird über einen horizontal in die Wand getriebenen Nagel gehängt.

1. Geben Sie die Schwingungsdauer und die Frequenz des schwingenden Reifens bei kleinen Auslenkungen des Reifens aus der Ruhelage an.

2. Bestimmen Sie die Länge eines mathematischen Pendels, das die gleiche Schwingungsdauer wie der Reifen hat.

Eine harmonisch schwingende Masse geht zum Zeitpunkt durch die Nullage und hat nach eine Auslenkung von erreicht. Die Amplitude beträgt .

1. Berechnen Sie die Frequenz, Kreisfrequenz und Periodendauer der Schwingung.

2. Stellen Sie die Schwingung als Sinus- und als Kosinusfunktion dar.

3. Geben Sie deren komplexen Augenblickswert und komplexe Amplitude an.

4. Wie lauten die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Schwingung?

Bei einem Parallelschwingkreis ist die Kapazität auf aufgeladen, die Induktivität stromlos und geöffnet. Zum Zeitpunkt wird der Schalter geschlossen.

1. Geben Sie die magnetische und elektrische Feldenergie bei und in Abhängigkeit von und an.

2. Bestimmen Sie die Schwingungsgleichung für die Ladung aus der Energiebilanz und bzw. für .

Ein Turner am Reck wird vereinfachend durch einen um die Achse drehbar gelagerten, starren Stab (Länge , Masse , Abstand Drehachse-Schwerpunkt ) modelliert.

1. Zeigen Sie, dass bzgl. das Trägheitsmoment ist.
2. Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung?
3. Linearisieren Sie die Differentialgleichung (DGL) aus 2. und lösen Sie diese für kleine Auslenkungen .
4. Wie groß ist die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung?
5. Um wie viel muss der Turner aus einer völlig gestreckten und waagerechten Anfangslage am unteren Scheitelpunkt den Abstand verringern, damit er gerade einen Überschlag schafft?