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Aufgabenstellung:

Abbildung

Eine dünne Stange (Masse und Längen ) ist am oberen Ende drehbar aufgehängt. Zusätzlich ist eine Feder (Federkonstante ) auf halber Höhe angebracht. Die Feder ist entspannt, wenn die Stange vertikal ausgerichtet ist.

  1. Welches gesamte Drehmoment wirkt auf dieses Stangenpendel, wenn es um einen kleinen Winkel ausgelenkt wird? (nur 1. Ordnung von )
  2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
  3. Mit welcher Frequenz schwingt das Pendel?
  4. Stellen Sie das Ergebnis in dimensionslos dar, indem sie angeben, wobei die Frequenz für ist. Geben Sie einen Näherungsausdruck an, der dann gültig ist, wenn eine kleine Größe ist.

Hinweis: Trägheitsmoment einer Stange für Rotation um den Schwerpunkt ist

Lösungsweg:

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a) Gesamte Drehmoment  

Das Drehmoment setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen. Der Schwerpunkt des Stangenpendels ist:

Am Stangenpendel greifen zwei Kräfte im Schwerpunkt an, die Gewichtskraft und die Federkraft . Die beiden Beiträge berechnen sich zu den Drehmomenten: 

Insgesamt wirkt auf das Stangenpendel also ein Drehmoment von

Wird die Kleinwinkelnäherung für und findet man, dass

b) Bewegungsgleichung

Um die Bewegungsgleichung aufzustellen wird verwendet, dass , wobei das Gesamte Trägkeitsmoment der Stange bei Drehung um den Aufhängepunkt ist. Hierfür wird der Satz von Steiner verwendet:

c) Frequenz

Die Schwingungsfrequenz lässt sich aus der Bewegungsgleichung ablesen, denn es gilt:

d) Ergebnis dimensionslos darstellen

Für den Fall, dass ergibt sich für :

Somit kann das Ergebnis dimensionslos dargestellt werden

wobei die Wurzel zu für kleine Werte von genähert wurde.

Lösung: