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Aufgabenstellung:

Ein Federpendel schwingt ungedämpft harmonisch. Die Amplitude seiner Schwingungen ist .
Bei welcher Auslenkung aus der Ruhelage ist die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers gerade gleich seiner halben Maximalgeschwindigkeit?

Lösungsweg:

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Die Auslenkungen harmonischer Schwingungen können entweder durch eine Sinus- oder eine Kosinus-Funktion beschrieben werden, also

dabei wurde - ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o. B. d. A.) - der Nullphasenwinkel gesetzt.

Die Geschwindigkeit erhält man durch einmaliges Ableiten des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit zu

Der Betrag der harmonischen Funktionen kann nicht größer als 1 werden, denn

Damit entspricht der Vorfaktor vor den harmonischen Funktionen des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes dem Betrag der maximalen Geschwindigkeit

Bestimmung des Zeitpunktes der Auslenkung bei halber maximaler Geschwindigkeit:

Für den Betrag einer Geschwindigkeit (o. B. d. A. wird das positive Vorzeichen gewählt)

Gleichsetzen der Geschwindigkeiten ergibt:

damit gilt für die Argumente:

Den Zeitpunkt braucht man dabei gar nicht explizit zu bestimmen, da in den harmonischen Funktionen als Phasenwinkel stets das Argument auftritt.

Bestimmung der Auslenkung bei halber maximaler Geschwindigkeit:

Eingesetzt in die zugehörigen Weg-Zeit-Gesetze

Daraus ergibt sich jeweils

schließlich liefert dies in beiden Fällen (wie das auch sein muss):

Das algebraische Vorzeichen berücksichtigt für ein eindimensionales Problem die Richtung von Auslenkung und Geschwindigkeit.

Alternative Lösung über Energiebetrachtungen

Für eine ungedämpfte harmonische Schwingung eines Feder-Masse-Systems
(Federkonstante , angehängte Masse , Auslenkung aus der Ruhelage ) gilt

  • für die potentielle Energie der gestauchten oder gedehnten Feder
  • für die kinetische Energie des angehängten Körpers ö

Skizze

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Für ungedämpfte Schwingungen gilt der Energieerhaltungssatz in seiner mechanischen Schreibweise

ö

mit den Spezialfällen:

  • Nulldurchgang
    ö
  • Umkehrpunkt

Für eine Geschwindigkeit ist die kinetische Energie (Vorzeichen bei Quadrieren unerheblich) immer

ö

also einem Viertel der maximalen kinetischen Energie (bzw. der Gesamtenergie) des Systems bei Nulldurchgang.

Nach dem Energiesatz ist dann die potentielle Energie der gestauchten/gedehnten Feder

Auflösen bringt die gesuchte Auslenkung:

Lösung:

Algebraisches Vorzeichen - Richtung von Auslenkung und Geschwindigkeit.
Analoges Ergebnis bei Wahl einer Kosinus-Funktion für Auslenkung-Zeit-Gesetz.