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Aufgabenstellung:

Abbildung

Eine Kugel mit Radius und Dichte hängt an einer Feder im Bad, welches mit einer Flüssigkeit gefüllt ist. Die Flüssigkeit hat eine Dichte , Zähigkeit und die Feder eine Federkonstante .

  1. Berechnen Sie die Gesamtkraft und bestimmen Sie daraus die Differentialgleichung (DGL) für die Beschleunigung der Kugel. Verwende und .
  2. Verwenden Sie für die Lösung der homogenen DGL folgenden Ansatz: . Bestimmen Sie die Konstante und daraus die Lösung, die für den Fall gilt.
    Hinweis: Durch Verwendung der Euler'schen Formel kann auch in der Form geschrieben werden, und sind beliebige reelle Zahlen.
  3. Für eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung soll eine konstante Funktion angenommen werden. Wie lautet nun die gesamte Lösung der DGL?
  4. Nehmen Sie nun (inhomogener Teil der DGL fällt dadurch weg) an und bestimme die Konstanten durch die Anfangsbedingungen und

Lösungsweg:

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a) Gesamtkraft und DGL

Auf die Kugel wirkt die Gewichtskraft, die Auftriebkraft, die Federkraft  und die Reibung durch die Flüssigkeit 

Dies kann zur üblichen Form der Differentialgleichung für umgeformt werden

wobei . Dies ist eine inhomogenen DGL mit Reibungsterm.

b) Konstante und Lösung für den Fall

Der homogene Teil der DGL lautet

Einsetzten des Ansatzes aus der Angabe liefert die Bestimmungsgleichung für die Konstante

Es ergeben sich drei mögliche Fälle:

1. Kriechfall

Der Term unter der Wurzel ist positiv, somit ist die Wurzel reell und ebenfalls. Die Bewegung ist rein exponentiell abfallend

2. Aperiodischer Grenzfall

Die Wurzel fällt weg. Es gibt nur eine Lösung, ein exponentieller Abfall

3. Schwingfall

Der Term unter der Wurzel ist negativ, die Wurzel wird rein imaginär und komplex. Der reelle Teil von bewirkt einen exponentiellen Abfall, aber der komplexe Teil von führt zu einem Schwingverhalten, welches durch Verwenden der Euler'schen Formel ersichtlich wird

wobei und und aus den Konstanten und folgen.

c) Gesamtlösung der DGL:

Um den inhomogenen Teil der DGL zu lösen wird der Ansatz der rechten Seite verwendet. Da die Inhomogenität konstant ist wird als Ansatz eine Konstante gewählt

Einsetzten in die DGL liefert

Es folgt für C:

Die gesamte Lösung der DGL setzt sich als Summe der homogenen und der partikulär Lösung zusammen.

d) Bestimmung der Konstanten:

Im Folgenden wird angenommen, dass und dass , so dass das System schwingt. Durch Einsetzen der Lösung in die Anfangsbedingungen können die Konstanten und bestimmt werden

Lösung: