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Aufgabenstellung:

Abbildung

Ein mit Schrot beschwertes Reagenzglas (konstanter Querschnitt , Gesamtmasse (Glas und Schrot) ) schwimmt aufrecht in Wasser.

Das Reagenzglas wird mit dem Daumen etwas tiefer gedrückt und dann losgelassen. Anschließend führt es Schwingungen in vertikaler Richtung aus.

  1. Zeigen Sie, dass diese Schwingungen harmonisch sind.
    Dabei soll idealisierend sowohl die Bewegung der Flüssigkeit als auch die Reibung durch die Flüssigkeit vernachlässigt werden.

  2. Welche Schwingungsdauer hat das beschriebene System?

  3. Wie hängt die Schwingungsdauer vom Querschnitt des Reagenzglases ab?
    Angenommen, der Querschnitt des Reagenzglases werde verdoppelt.

  4. Begründen Sie, warum entsprechende Schwingungen einer Kugel - im Vergleich zu einem Reagenzglas - keine harmonischen Schwingungen ergeben.

Lösungsweg:

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Im Ruhezustand schwimmt das Reagenzglas. Die Ruhelage sei gekennzeichnet durch die Koordinate . Auslenkungen aus der Ruhelage seien durch beschrieben. Als positive -Richtung sei die Eintauchrichtung gewählt (Skizze):

Abbildung

Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:

Dichte der Flüssigkeit

Fallbeschleunigung

zusätzlich verdrängtes Volumen

Querschnitt

a) Zeigen Sie, dass diese Schwingungen harmonisch sind

Nach dem Tiefertauchen um die Auslenkung wirkt eine zusätzliche Auftriebskraft nach oben (also in negative - Richtung). Die Auftriebskraft ist gegeben durch , dabei ist das verdrängte Volumen also wirkt

Die Auftriebskraft ist proportional zur Eintauchtiefe bezüglich der Ruhelage und in die Ruhelage rücktreibend. Der Vergleich mit einem linearen Kraftgesetz ü liefert für die 'Federkonstante' .

Die Federkonstante wird repräsentiert durch den Ausdruck . Ein lineares Kraftgesetz führt stets zu harmonischen Schwingungen.

b) Bestimmung der Schwingungsdauer

Sämtliche für ein Feder-Masse-System aufgestellten und abgeleiteten Beziehungen können übernommen werden. Es ist nur überall die Federkonstante des vorliegenden Problems einzusetzen.

Zahlenwerte

c) Wie hängt die Schwingungsdauer vom Querschnitt des Reagenzglases ab? 

Abhängigkeit der Schwingungsdauer vom Querschnitt des Reagenzglases Nach der Beziehung für die Schwingungsdauer gilt

Für eine konstante Dichte der Flüssigkeit und eine konstante Fallbeschleunigung folgt für die Schwingungsdauer

Wenn der Querschnitt des Reagenzglases verdoppelt wird, muss auch die Masse verdoppelt werden, wenn die Schwingungsdauer unverändert bleiben soll.

d) Schwingungen einer Kugel

Für das Reagenzglas gilt

ö

Für eine Kugel ist aber der Querschnitt von der Eintauchtiefe abhängig, denn ist nicht mehr konstant. Damit wird das Kraftgesetz nicht-linear und die Voraussetzung für ungedämpfte harmonische Schwingungen ist nicht mehr erfüllt.

Lösung:

  1. Lineares Kraftgesetz ü Federkonstante .
    Ein lineares Kraftgesetz führt zu harmonischen Schwingungen.
  2. Schwingungsdauer
  3. Abhängigkeit der Schwingungsdauer const.
  4. Kugelquerschnitt abhängig von Eintauchtiefe . Nicht-lineares Kraftgesetz - keine harmonische Schwingungen.