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Aufgabenstellung:

Ein dünner ausbalancierter Waagebalken mit Masse und Länge werde über zwei Federn mit dem besten Boden verbunden. Die beiden gleichen Federn (Federkonstante ) seien symmetrisch im Abstand vom Zentrum der Waage angebracht und vertikal ausgerichtet.

Abbildung

  1. Welches Rückstellende Drehmoment wirkt, wenn der Balken um einen kleinen Winkel gekippt wird? Geben Sie einen Näherungsausdruck an, der linear in ist.
  2. Wie hängt die Winkelbeschleunigung mit dem kleinen Winkel zusammen?
  3. Welche Schwingungsperiode hat die Kippschwingung des Balkens?
  4. Für die Anordnung seien Zahlenwerte und gegeben. Für die Schwingungsperiode werde s gemessen. Was ergibt sich hieraus für die Federkonstante

Lösungsweg:

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a) Rückstellendes Drehmoment

Wenn der Balken um einen kleinen Winkel gekippt wird eine Feder um den Betrag gedehnt, die andere um genau den gleichen Betrag gestaucht. Dadurch ergibt sich jeweils eine Rückstellkraft . Für das Drehmoment welches auf die Waage wirkt finden wir somit

b)

Um die Winkelbeschleunigung zu bestimmen wird die Bewegungsgleichung aufgestellt.

Aus und dem Trägheitsmoment des Balkens folgt

c) Winkelbeschleunigung

Wird die Bewegungsgleichung in der Form geschrieben kann die Schwingungsfrequenz direkt abgelesen werde. Aus dieser folgt dann die Schwingungsperiode

d) Federkonstante 

Umformen der Schwingungsperiode nach liefert

Lösung: