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Aufgabenstellung:

Abbildung

Zwei Drehscheiben (Masse , Radius ) werden durch sechs gleiche Federn (Federkonstante ) festgehalten. Die Federn verbinden dabei den Rand der Scheiben mit den Wänden und üben auf die Scheiben Kräfte in tangentialer Richtung aus. Wir beschränken uns auf kleine Winkelauslenkungen aus der Gleichgewichtslage.

  1. Welche Drehmomente und wirken auf die beiden Scheiben?
  2. Führen Sie die Koordinaten und ein. Wie lauten damit die Bewegungsgleichungen für das System für die gleichphasige Schwingung und für die gegenphasige Schwingung
  3. Welche Frequenzen und haben die gleich- bzw. gegenphasige Schwingung?
  4. Nun seinen die Zahlenwerte und gegeben, Berechnen Sie die Periodendauer der gegenphasigen Schwingung.

Hinweis: Trägheitsmoment einer Scheibe bzgl. der Symmetrieachse .

Lösungsweg:

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Für kleine Winkel ergeben sich folgende Auslenkungen der Federn (Skizze):

Abbildung

a) Drehmomente

Drehmomente ergeben sich aus den Kräften, die die Federn auf die Scheiben ausrichten. Der Angriffspunkt ist jeweils von den Mittelpunkten der Scheiben entfernt. Da sich Drehmomente, ebenso wie Kräfte additiv verhalten ergibt sich

b) Bewegungsgleichungen

Für die Bewegungsgleichungen wird verwendet, dass

Daraus folgen die Bewegungsgleichungen für und

Diese beiden Bewegungsgleichungen sind offensichtlich gekoppelt. Um die beiden Gleichungen zu entkoppeln werden neue Variablen wie in der Angabe eingeführt und

Die Bewegungsgleichungen für diese Variablen folgen aus Summe bzw. Differenz der Gleichungen für und

Für gleichphasige Schwingung gilt, dass und somit

Analog folgt für die gegenphasige Schwingung

c) Schwingungsfrequenzen

Die Schwingungsfrequenzen können leicht aus den jeweiligen Bewegungsgleichungen abgelesen werden

 

d) Für die Schwingungsperiode folgt

Lösung: