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Aufgabenstellung:

Eine zylindrische Scheibe mit einem Radius und einer Masse von habe eine homogene Massendichte. In der Entfernung vom Mittelpunkt der Scheibe befindet sich ein kleines Loch, an dem man die Scheibe aufhängen kann.

  1. Wie groß muss sein, damit die Schwingungsdauer dieses physikalischen Pendels beträgt?
  2. Wie muss man wählen, damit die Schwingungsdauer minimal wird? Wie groß ist diese minimale Schwingungsdauer?

Lösungsweg:

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1. Abstand bei einer Schwingungsdauer von

Die Differenzialgleichung dieser Schwingung ergibt sich aus der Betrachtung des wirkenden Drehmoments.

Das Drehmoment ist gleichzeitig die Ableitung des Drehimpulses Daraus ergibt sich unter der Berücksichtigung, dass das Drehmoment rücktreibend wirkt, folgende DGL:

Mit der Kleinwinkelnäherung ergibt sich das zu

Es gilt also

Das Trägheitsmoment dieser Anordnung ergibt sich mit dem Satz von Steiner zu

Setzt man das in ein, kann die Gleichung aufgelöst werden zu

Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Die eine ist physikalisch nicht sinnvoll, da der Radius der Scheibe nur beträgt. Der gesuchte Abstand ist also

2. Abstand für minimale Schwingungsdauer

Für die Periodendauer ergibt sich folgende Formel:

Die Extrema der Periodendauer lassen sich nun ermitteln, indem man diese Formel nach ableitet und mit null gleichsetzt.

Es ist ausreichend, den Zähler der linken Seite zu beachten,

Daraus ergibt sich   

Dies setzen wir wieder in den Ausdruck für die Periodendauer ein und erhalten

Um mathematisch korrekt zu zeigen, dass dieser Wert ein Minimum und kein Maximum ist, müsste nun entweder der Graph oder die zweite Ableitung betrachtet werden. Das soll für uns aber in diesem Fall als gegeben betrachtet werden.

Lösung: