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Aufgabenstellung:

In einem Experiment wird die Schwingung eines Körpers (Masse ), der am Ende einer Schraubenfeder befestigt ist, beobachtet. Die Dämpfung des Systems ist sehr klein. Die beobachteten Schwingungen dürfen deshalb zunächst als ungedämpft betrachtet werden.
Experimentell gemessen wurde die Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Masse des Körpers. Als Mittelwert aus jeweils mehreren Messungen erhielt man:

ä

Aus diesen Messwerten soll die Federkonstante der Schraubenfeder bestimmt werden. Diese Messmethode heißt 'dynamische Bestimmung der Federkonstante'.

  1. Tragen Sie auf Millimeterpapier in passendem Maßstab das Quadrat der gemessenen Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Masse des angehängten Körpers auf.

  2. Legen Sie durch die eingezeichneten Messpunkte eine ausgleichende Gerade (dem entspricht eine grafische Mittelung der Messfehler).
    Zeigen Sie, dass sich aus der Steigung der Geraden des Diagramms die Federkonstante der Schraubenfeder bestimmen lässt.

  3. In der Tabelle der Messwerte sind nur die Massen der jeweils angehängten Körper eingetragen, die Eigenmasse der Schraubenfeder ist nicht berücksichtigt. Bestimmen Sie aus der grafischen Darstellung (vgl. Teilaufgabe (a)) für einen Ersatzschwinger eine effektive Federmasse so, dass diese effektive Federmasse, an eine masselose Feder gehängt, die gleiche Schwingungsdauer hätte.

Lösungsweg:

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a) Diagramm

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Das Diagramm zeigt die Quadrate der gemessenen Schwingungsdauern aufgetragen über der Masse des an die Feder gehängten Körpers. Durch die Messpunkte wird eine ausgleichende Gerade gelegt.

b) Bestimmung der Federkonstanten der Schraubenfeder:

Zunächst soll eine Beziehung zwischen der Federkonstanten und der im Diagramm der Teilaufgabe (a) eingetragenen Ausgleichsgerade hergeleitet werden.

Für ein ungedämpftes Feder-Masse-System gilt für die Eigenkreisfrequenz die Beziehung

Mit  erhält man dann:

Diese Beziehung stellt die Gleichung einer (Ursprungs)Geraden dar. Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingungsdauer und der Masse des angehängten Körpers. Die Steigung der Geraden hängt von der Federkonstanten der Feder ab.

Für die Steigung der Geraden erhält man

Gleichung (1) gilt für eine ideale masselose Feder; sie gehört zu einer Ursprungsgeraden, während sich aus den experimentell gewonnenen Daten keine Ursprungsgerade ergibt.

Die Bedeutung dieses Unterschieds wird in Teilaufgabe (c) diskutiert.

Berechnung der Steigung für die im Experiment ermittelte Ausgleichsgerade

Mit zwei aus der Grafik abgelesenen Wertepaaren

folgt für die Steigung der Ausgleichsgeraden

Die oben abgeleitete Gleichung (2) ergibt damit die Federkonstante

c) Bestimmung der effektiven Federmasse aus der grafischen Darstellung:

Lenkt man eine reale Feder - ohne angehängte Masse - aus ihrer entspannten Lage aus und lässt sie anschließend los, so fängt sie an zu zappeln, d.h. sie führt Schwingungen aus. Der Grund dafür ist: Die Feder ist nicht, wie idealisierend angenommen wurde, masselos, sondern sie hat eine eigene Masse.

In der grafischen Darstellung von Aufgabenteil (a) äußert sich dies dadurch, dass die Gerade für die gemessenen Werte von und nicht durch den Koordinatenursprung geht, wie es die Beziehung (1) erfordern würde, sondern dass sie für (d. h. ohne angehängten Körper) die Achse bei schneidet.

Daraus ergibt sich - ohne angehängten Körper - eine Schwingungsdauer von . Das ist die Schwingungsdauer, mit der die Feder nach Auslenkung alleine schwingt.

Die experimentell erhaltene Gerade lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben, in der die effektive Masse formal der Wirkung der Eigenmasse der Feder beschreibt:

Anmerkung: Formale Bestimmung einer effektiven Masse der (realen) Feder

Aus Gleichung (3) folgt

Aufgelöst nach der effektiven Masse:

Die reale Feder verhält sich also so, als sei ein Körper der Masse an einer idealen - also masselosen - Feder befestigt.

Bei der Bestimmung der Federkonstanten c spielte dies keine Rolle, denn sie wurde nur aus der Steigung der Geraden berechnet, die wiederum ausgehend von zwei Punkten ermittelt wurde.

Der konstante Term mit in (3) fällt dabei durch Differenzbildung heraus.

Kontrolle:

Als Kontrolle soll nun die Schwingungsdauer für eine angehängte Masse aus der ermittelten Federkonstanten und der effektiven Masse der Feder berechnet werden.

Damit ist

Zum Vergleich: Die gemessene Schwingungsdauer war (Messfehler).

Lösung:

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  2. Federkonstante

  3. Effektive Masse