Physikalische Grundlagen schwingungsfähiger Systeme

Freie, harmonische Schwingungen

Gedämpfte Schwingungen

Erzwungene Schwingungen

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Ungedämpfter elektrischer Parallelschwingkreis

<ol>
<li>
<p>\[<br />\dot{E}_{\mathrm{m}}=L \dot{Q}(t) \ddot{Q}(t),\quad <br />\dot{E}_{\mathrm{el}}=Q(t) \dot{Q}(t) / C<br />\]</p>
</li>
<li>
<p>\[<br />U_{\mathrm{C}}(t)=5 \mathrm{~V} \cos \left(1 \cdot 10^{6} t / \mathrm{s}\right)<br />\] \[<br />I(t)=-0,5 \mathrm{~A} \sin \left(1 \cdot 10^{6} t / \mathrm{s}\right)<br />\]</p>
</li>
</ol>

<p>1. Geben Sie die magnetische und elektrische Feldenergie bei \( L \) und \( C \) in Abhängigkeit von \( I(t) \) und \( U_{\mathrm{C}}(t) \) an</p>


<p>1. Geben Sie die magnetische und elektrische Feldenergie bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" L " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 681 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-866-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-866-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-867-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-867-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in Abhängigkeit von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.717ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1643 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-868-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-868-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-868-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(504,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-868-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(893,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-868-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1254,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-868-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" U_{\mathrm{C}}(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.465ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2415.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D448" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(716,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-43"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1276.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1665.5,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2026.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an</p>


<p>Magnetische Feldenergie bei \( L \) :</p>


<p>Magnetische Feldenergie bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" L " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 681 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-870-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} L I^{2}(t)<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \dot{E}_{\mathrm{m}}=L I(t) \dot{I}(t) =L \dot{Q}(t) \ddot{Q}(t)<br />\]</p>


<p>Elektrische Feldenergie bei \( C \) :</p>


<p>Elektrische Feldenergie bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-873-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />E_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2} C U_{\mathrm{C}}^{2}(t)<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \dot{E}_{\mathrm{el}}=C U_{\mathrm{C}}(t) \dot{U}_{\mathrm{C}}(t) =Q(t) \dot{Q}(t) / C<br />\]</p>


<p>2. Bestimmen Sie die Schwingungsgleichung für die Ladung \( Q(t) \) aus der Energiebilanz und \( U_{\mathrm{C}}(t) \) bzw. \( I(t) \) für \( t \geq 0 \)</p>


<p>2. Bestimmen Sie die Schwingungsgleichung für die Ladung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Q(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.367ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1930 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-876-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 52Q274 18 314 18Z"></path><path id="MJX-876-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-876-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-876-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJX-876-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(791,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-876-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1180,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-876-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1541,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-876-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus der Energiebilanz und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" U_{\mathrm{C}}(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.465ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2415.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-877-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path><path id="MJX-877-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 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385H26Z"></path><path id="MJX-877-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D448" xlink:href="#MJX-877-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(716,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-43"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1276.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1665.5,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-877-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2026.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bzw. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.717ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1643 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-878-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path 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-250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-878-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(504,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-878-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(893,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-878-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1254,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-878-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t \geq 0 " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.965ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2194.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-879-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 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39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-879-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-879-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1694.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-879-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />E_{\mathrm{m}}(t)+E_{\mathrm{el}}(t)=\frac{1}{2} C U_{\mathrm{C} 0}^{2}=\text { const. }<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \dot{E}_{\mathrm{m}}(t)+\dot{E}_{\mathrm{el}}(t)=0<br />\]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow \quad \ddot{Q}(t)+\omega_{0}^{2} Q(t)=0<br />\]</p>


<p>mit \( \omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C}=1 \cdot 10^{12} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \)</p>


<p>Die Schwingungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators hat die Lösung:</p>


<p>\[<br />Q(t)=\hat{Q} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi_{0}\right)=U_{\mathrm{C} 0} C \cos \left(\omega_{0} t\right)<br />\]</p>


<p>Bestimmung \( U_{\mathrm{C}}(t) \)</p>


<p>Bestimmung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" U_{\mathrm{C}}(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.465ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2415.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-886-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D448" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(716,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-43"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1276.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1665.5,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2026.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Mit \( Q(t)=C U_{\mathrm{C}}(t) \) folgt:</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Q(t)=C U_{\mathrm{C}}(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.568ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6439.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-887-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 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133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(791,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1180,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1541,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2207.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3263.6,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4023.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D448" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(716,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-43"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5300.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5689.1,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6050.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\[<br />U_{\mathrm{C}}(t)=Q(t) / C<br />\]</p>


<p>\[<br />=U_{\mathrm{C} 0} \cos \left(\omega_{0} t\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />=5 \mathrm{~V} \cos \left(1 \cdot 10^{6} t / \mathrm{s}\right)<br />\]</p>


<p>Bestimmung  <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.717ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1643 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-891-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-891-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-891-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(504,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-891-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(893,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-891-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1254,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-891-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> </p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I(t)=\dot{Q}(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.101ex" height="2.894ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1029 4906.6 1279" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-892-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-892-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-892-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 52Q274 18 314 18Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(504,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(893,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1254,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1920.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2976.6,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(478.8,260) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3767.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4156.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4517.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt</p>


<p>\[<br />I(t)=-\omega_{0} U_{\mathrm{C} 0} C \sin \left(\omega_{0} t\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />=-1 \cdot 10^{6} \cdot 5 \cdot 0,1 \cdot 10^{-6} \mathrm{~A} \sin \left(1 \cdot 10^{6} t / \mathrm{s}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />=-0,5 \mathrm{~A} \sin \left(1 \cdot 10^{6} t / \mathrm{s}\right)<br />\]</p>

<p><img style="width: 29%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61bb35c3fbfd4f46936ee2a7.jpeg" alt="Abbildung" width="214" height="178" /></p>
<p>Bei einem Parallelschwingkreis \( (C=100 \mathrm{nF}, L=10 \mu \mathrm{H}) \) ist die Kapazität auf \( U_{\mathrm{C} 0}=5 \mathrm{~V} \) aufgeladen, die Induktivität stromlos und \( S \) geöffnet. Zum Zeitpunkt \( t=0 \) wird der Schalter geschlossen.</p>
<ol>
<li>
<p>Geben Sie die magnetische und elektrische Feldenergie bei \( L \) und \( C \) in Abhängigkeit von \( I(t) \) und \( U_{\mathrm{C}}(t) \) an.</p>
</li>
<li>
<p>Bestimmen Sie die Schwingungsgleichung für die Ladung \( Q(t) \) aus der Energiebilanz und \( U_{\mathrm{C}}(t) \) bzw. \( I(t) \) für \( t \geq 0 \).</p>
</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Freie, harmonische Schwingungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: