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Aufgabenstellung:

Abbildung

Ein Reifen - ein sehr dünnwandiger Kreisring - hat einen Durchmesser und die Masse .
Der Reifen wird über einen horizontal in die Wand getriebenen Nagel gehängt.

  1. Geben Sie die Schwingungsdauer und die Frequenz des schwingenden Reifens bei kleinen Auslenkungen des Reifens aus der Ruhelage an.

  2. Bestimmen Sie die Länge eines mathematischen Pendels, das die gleiche Schwingungsdauer wie der Reifen hat.

Lösungsweg:

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Vorbemerkung:

  • Für einen Reifen gilt: Wandstärke Durchmesser; dies ist wichtig für die Bestimmung des Massenträgheitsmoments.
  • Die Beschränkung auf kleine Auslenkungen ist notwendig für die Linearisierung der Differentialgleichung.

Es werden folgende Bezeichnungen gewählt:

  • Massenträgheitsmoment des Körpers (Reifen)
    bezüglich einer Drehachse durch P
  • Massenträgheitsmoment des Körpers (Reifen) bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt (Achsen durch und parallel)
  • Abstand Drehachse durch Aufhängepunkt - Massenmittelpunkt Für die gegebene Geometrie ist
  • Gesamtmasse des Reifens
  • Fallbeschleunigung nahe der Erdoberfläche

a) Schwingungsdauer und Frequenz bei kleinen Auslenkungen:

Für die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels gilt bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage (notwendig zur Linearisierung der Differentialgleichung)

Das Massenträgheitsmoment des Reifens bezüglich des Drehpunktes kann mit Hilfe des STEINERschen Satzes bestimmt werden. Für die vorgegebene Geometrie ergibt sich für :

      mit Reifenradius

Einsetzen von  Wandstärke Durchmesser

Die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage wird damit

Die Schwingungsdauer des Reifens ist unabhängig von seiner Masse .

Die Schwingungsdauer ergibt sich zu

Die Eigenfrequenz der Schwingungen ist damit:

b) Bestimmen Sie die Länge eines mathematischen Pendels

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ist (für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage)

Die Schwingungsdauer des Reifens (physikalisches Pendel) ist (für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage)

Diese beiden Schwingungsdauern sollen gleich sein. Also muss gelten

Vergleich der Radikanden liefert als Länge des mathematischen Pendels

Anmerkung

Man nennt die Länge dieses, der Schwingungsdauer des physikalischen Pendels äquivalenten mathematischen Pendels, die reduzierte Pendellänge

Lösung:

  1. Schwingungsdauer (unabhängig von Reifenmasse).
    Eigenfrequenz .

  2.  Länge .