Zustandsregler

Gegeben ist die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke:

a) Stellen Sie für das System ein Zustandsraummodell in Beobachtungsnormalform auf.
b) Zeichnen Sie einen Wirkungsplan für das Zustandsraummodell aus Aufgabenteil a). Kennwerte an den Übertragungsblöcken sind erforderlich.

Hinweis: Der folgende Aufgabenteil ist unabhängig lösbar.

Betrachtet wird nun ein System mit der folgenden Zustandsraumdarstellung:

c) Entwickeln Sie für dieses System einen Zustandsregler mit , sodass der geschlossene Regelkreis die Eigenwerte besitzt.

Gegeben ist der folgende Regelkreis

und .

Bei einer sprungförmigen Anregung durch die Störgröße zeigt die Regelgröße des geschlossenen Regelkreises folgendes Verhalten:

Aus dem Verlauf ist bereits der Dämpfungsgrad zu bestimmt worden. Der Regler ist so ausgelegt, dass sich ein Regelfaktor von ergibt. Bestimmen Sie und .

Von einer Regelstrecke sind die Ortskurve und die Pol- und Nullstellenverteilung bekannt:

a) Ist die Regelstrecke schwingungsfähig? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie das Ausgangssignal im eingeschwungenen Zustand, wenn die Regelstrecke mit dem Eingangssignal angeregt wird.
c) Die Regelstrecke soll mit einem -Regler geregelt werden. Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist anwendbar. Bestimmen Sie so, dass der geschlossene Regelkreis eine Amplitudenreserve aufweist.

Nun gilt

d) Welche Phasenreserve liegt mit diesem vor?

Betrachtet wird ein System mit der Übertragungsfunktion

e) Zeigen Sie, dass das System stabil ist.
Das System wird nun mit dem Eingangssignal beaufschlagt.

f) Bestimmen Sie den statischen Endwert .

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

Gegeben ist das folgende Übertragungssystem mit der Regelstrecke :

a) Geben Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke in der folgenden Form an

Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile können unabhängig von der Teilaufgabe a) gelöst werden.
Die Strecke soll nun mit einem -Regler geregelt werden.

b) Ergänzen Sie den Wirkungsplan um einen PI-Regler mit der Führungsgröße , für den Fall dass gilt: .

Für eine bestimmte Parametrierung ergibt sich die folgende Übertragungsfunktion der Strecke:

c) Bestimmen Sie den Wertebereich für den Übertragungsfaktor des Reglers mit Nachstellzeit , für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Betrachtet wird der nachfolgende Regelkreis mit der Strecke und dem Regler

mit

Der geschlossene Regelkreis soll durch den Reglerparameter auf eine Dämpfung von (aperiodischer Grenzfall) ausgelegt werden.

a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass bei für die nachfolgende Rechenvorschrift gilt:

Die nachfolgenden Aufgabenteile beziehen sich auf den geschlossenen Regelkreis mit dem gegebenen aus Aufgabenteil a).

b) Bestimmen Sie die resultierenden Polstellen von in Abhängigkeit von und . Zeichnen Sie die Stabilitätsgrenze in das folgende -Diagramm ein und kennzeichnen Sie den stabilen Bereich.

Nun wird auf begrenzt.

c) Berechnen Sie die daraus folgenden Einschränkungen an die Parameter und und ergänzen Sie das -Diagramm.
d) Wie wirkt sich der Fall auf das Führungsverhalten aus?

Gegeben ist die Strecke

für die ein geeigneter Regler so entworfen werden soll, dass die folgenden Anforderungen an den geschlossenen Kreis erfüllt werden:

1. Skizzieren Sie dazu zunächst handschriftlich das Bodediagramm der Strecke.
2. Bestimmen Sie die Parameter der Übertragungsfunktion des Reglers  

Betrachtet wird folgender Regelkreis sowie die Ortskurve des Frequenzgangs der Regelstrecke

Die Strecke soll zunächst mit einem P-Regler geregelt werden.

a) Ist der aufgeschnittene Regelkreis stabil? Ist das vereinfachte Nyquist-Kriterium anwendbar? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort!
b) Bestimmen Sie den maximalen Verstärkungsfaktor , unterhalb dessen der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Im Folgenden kommt ein I-Regler zum Einsatz. Für ist der geschlossene Regelkreis stabil.

c) Ist der aufgeschnittene Regelkreis stabil? Begründen Sie Ihre Antwort!
d) Bestimmen Sie die Amplitudenreserve . Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist anwendbar.

Gegeben ist das folgende System in Blockschaltbild-Form

mit den beiden Übertragungsfunktionen und . Für die Streckenübertragungsfunktion sind die beiden Übertragungsfunktionen gegeben

Schließen Sie den Regelkreis in beiden Fällen mit einen P-Regler und überprüfen Sie mit dem Hurwitz-Kriterium, für welche der Regelkreis stabil ist.

Gegeben ist das System mit der Übertragungsfunktion

Es wird ebenfalls ein Standardregelkreis der Form

betrachtet.

Als Regler werden in diesem Fall zwei verschiedene Regler-Strukturen verwendet

• PI-Regler:
• PID-Regler:

1. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PI-Regler. Untersuchen Sie den Einfluss der Reglerparameter und auf das Verhalten der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

2. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit einem PID-Regler. Wie äußert sich der Einfluss des zusätzlichen Reglerparameters auf das Verhalten der Regelstrecke?

Gegeben ist das System

Das System soll im Folgenden mit einem PI-Regler

in einem Standardregelkreis geregelt werden.

1. Bestimmen Sie die Nachstellzeit des Reglers so, dass die Polstelle bei der Regelstrecke kompensiert wird.
2. Bestimmen Sie den Bereich für für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.
3. Wie wirken sich die Polkompensation und die Wahl der Reglerverstärkung auf die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises aus?

Gegeben sei eine Regelstrecke

Sie benutzen einen P-Regler der Form:

1. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises , die das Verhalten des Systems von Referenzsignal auf das Ausgangssignal beschreibt. Verwenden Sie dabei für die Übertragungsfunktion der Kreisverstärkung.
2. Ist der geschlossene Regelkreis für folgende Verstärkungen asymptotisch stabil?
3. Ab welcher kritischen Verstärkung wird der geschlossene Regelkreis instabil? Diskutieren Sie die beiden anderen Fälle mit und .

Tipp: Nutzen Sie dafür Ihre Kenntnisse des Nyquist Stabilitätskriteriums: Bereits ohne dass Sie die Nyquist-Kurve kennen, wissen Sie, dass die Anzahl Umrundungen von um den Punkt in der komplexen Ebene unterschiedlich ist für die beiden gebebenen Werte von , denn führt zu einem stabilen , während zu einem instabilen führt. Sie wissen auch, dass linear in ist, das bedeutet, dass den Abstand der Nyquist-Kurve zum Ursprung der komplexen Ebene linear skaliert. Um zu finden, können Sie also für den stabilen Fall den Schnittpunkt zwischen der NyquistKurve und der reellen Achse finden und dann berechnen, um wieviel Sie grösser machen können, bis die Anzahl Umdrehungen um den Punkt sich ändert.

Gegeben sei folgende Regelstrecke:

Störungen treten vor allem im Frequenzband bis auf. Das auftretende Rauschen ist sehr hochfrequent: . Die Übertragungsfunktion der Unsicherheitsschranke ist gegeben durch:

Ein Regler soll so ausgelegt werden (nicht Teil dieser Aufgabe), dass ein stabiler geschlossener Regelkreis resultiert und dass Störungen und Rauschen genügend stark unterdrückt werden. Modellunsicherheiten können die Durchtrittsfrequenz weiter einschränken und müssen entsprechend mitberücksichtigt werden.

Existiert ein Regler der diese Regelaufgabe erfüllen kann? Ist eine konservative Einschränkung der Durchtrittsfrequenz möglich? Begründen Sie Ihre Anwort anhand der für diese Aufgabenstellung relevanten Frequenzen.

Sei eine beliebige, asymptotisch stabile Regelstrecke mit der kritischen Verstärkung und der kritischen Periode . Gesucht ist ein PID-Regler mit , mit welchem ein Regelsystem resultiert, dessen Durchtrittsfrequenz der kritischen Frequenz entspricht und ein Überschwingen von aufweist. Geben Sie die Reglerparameter als Funktion von und an.

Annahme: Das Regelsystem verhält sich annähernd wie ein System zweiter Ordnung.

Von einem Regelsystem mit einem PID-Regler ist das Bode Diagramm vom offenen Regelkreis in der Abbildung gegeben. Der geschlossene Regelkreis verhält sich ungefähr wie ein System zweiter Ordnung. Die Sprungantwort des Regelsystems ist wegen zu grossem Überschwingen noch nicht befriedigend. Der Überschwinger soll halbiert werden. Dazu soll der Regler mit einem Lead/Lag-Element erweitert werden. Um die Anstiegszeit, nicht zu verändern, soll die Durchtrittsfrequenz gleich bleiben.

a) Berechnen Sie die notwendige Phasenreserve. Verwenden Sie dazu das gegebene Bode Diagramm vom offenen Regelkreis und die Anforderung an das maximale Überschwingen.
b) Um wie viel muss die Phase angehoben werden, und bei welcher Frequenz muss dieser Phasengewinn stattfinden?
c) Berechnen Sie aus diesen Anforderungen die Parameter und des Lead/Lag-Elementes.

Beachten Sie vorerst nur die Phase der Kreisverstärkung und ignorieren Sie, dass das Lead/Lag-Element auch den Betrag der Kreisverstärkung beeinflusst.

d) Durch das Lead/Lag-Element hat sich der Betrag der Kreisverstärkung verändert und damit hat sich die Durchtrittsfrequenz verändert. Passen Sie die Reglerverstärkung so an, dass die ursprüngliche Durchtrittsfrequenz wiederhergestellt wird.

Gegeben ist die Übertragungsfunktion der Regelstrecke

Bestimmen Sie mittels des Frequenzkennlinienverfahrens einen geeigneten Regler so, dass die folgenden Anforderungen an den geschlossenen Regelkreis

erfüllt werden.

Gegeben ist die Strecke

a) Skizzieren Sie das Bodediagramm von .

b) Berechnen Sie anschließend die Parameter eines Reglers der Form

so, dass der geschlossene Regelkreis folgende Anforderungen erfüllt:

Dabei soll für die Zeitkonstante des Realisierungspols angenommen werden, womit dieser Pol für die Auslegung der Parameter und nicht berücksichtigt werden muss. Wählen Sie zum Schluss einen geeigneten Parameter .

Gegeben ist die folgende Regelstrecke

mit und

1. Kompensieren Sie das konjugiert komplexe Polpaar mit einem realisierbaren PID-Regler mit der parasitären Zeitkonstante und geben Sie die Übertragungsfunktion des resultierenden offenen Regelkreises an.
2. Berechnen Sie den stationären Endwert der Sprungantwort des geregelten Systems mit Einheitsrückführung. Beschreiben Sie, wie sich das Systemverhalten durch die Polstellen-Kompensation verändert. Was würde sich ändern, wenn anstatt des PID- und ein P-Regler verwendet werden würde.

Gegeben ist die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion:

1. Entwerfen Sie einen PI-Regler für die Strecke so, dass die Phasenreserve der Kreisverstärkung beträgt. Wählen Sie dabei drei verschiedene Durchtrittsfrequenzen: . Bestimmen Sie die Regler-Parameter.

   ist die Frequenz, für die gilt:

2. Welcher der drei Regler ist der Beste in Bezug auf Störunterdrückung und welcher ist der Beste in Bezug auf Rauschunterdrückung? Begründen Sie.

Gegeben ist ein durch die konstante Störung gestörtes lineares zeitinvariantes System der Form

Entwerfen Sie eine PI-Zustandsregelung so, dass der geschlossene Regelkreis mit der Führungsgröße stationär genau ist und alle Eigenwerte der Dynamikmatrix des geregelten Systems bei liegen.