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Aufgabenstellung:

Sei eine beliebige, asymptotisch stabile Regelstrecke mit der kritischen Verstärkung und der kritischen Periode . Gesucht ist ein PID-Regler mit , mit welchem ein Regelsystem resultiert, dessen Durchtrittsfrequenz der kritischen Frequenz entspricht und ein Überschwingen von aufweist. Geben Sie die Reglerparameter als Funktion von und an.

Annahme: Das Regelsystem verhält sich annähernd wie ein System zweiter Ordnung.

Lösungsweg:

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Aufgrund des geforderten Überschwingers muss das Regelsystem eine Phasenreserve aufweisen:

Da die Durchtrittsfrequenz gleich der kritischen Frequenz ist, gilt:

Dieser Punkt kann auch wiefolgt ausgedrückt werden (mit ):

Aus dem Vergleich der Realteile kann die Verstärkung bestimmt werden:

Aus dem Vergleich der Imaginärteile folgt:

Autlösen nach gibt

Nur die positive Lösung macht Sinn: und . Der Wert von kann somit berechnet werden:

Lösung: