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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das folgende System in Blockschaltbild-Form

Abbildung

mit den beiden Übertragungsfunktionen und . Für die Streckenübertragungsfunktion sind die beiden Übertragungsfunktionen gegeben



Schließen Sie den Regelkreis in beiden Fällen mit einen P-Regler und überprüfen Sie mit dem Hurwitz-Kriterium, für welche der Regelkreis stabil ist.

Lösungsweg:

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Betrachtung von Übertragungsfunktion (1) 

Laut Aufgabenstellung wird ein Standardregelkreis mit einem P-Regler betrachtet. Somit ergibt sich für die beiden Teile der Rückkopplung

Da im Rückkopplungspfad keine Übertragungsfunktion vorhanden ist, gilt und somit für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises

Für den Nenner ergibt sich

Somit ergibt sich für

Um einen Bereich für zu bestimmen, in dem der geschlossene Regelkreis stabil ist, wird nun das Hurwitz-Kriterium verwendet. Dafür wird das Nennerpolynom betrachtet.

(3)

Nach der notwendingen Bedingung für Stabilität müssen alle Koeffizienten für in (3) vorhanden sein und das gleiche Vorzeichen besitzen. Die Koeffizenten sind vorhanden und positiv, somit ergibt sich eine erste Bedingung an .

Zusätzlich müssen für die hinreichende Bedingung für Stabilität nach Hurwitz noch die Determinanten der beiden Hurwitz-Matrizen geprüft werden.

Die Matrix ist unabhängig von und deren Determinante beträgt und ist somit positiv. Betrachten von ergibt

Für Stabilität muss die Determinante von positiv sein, somit ergibt sich

Somit ist der geschlossene Regelkreis nur genau dann stabil, wenn für ein Wert im Bereich

gewählt wird.

Betrachtung von Übertragungsfunktion (2) 

Analog zur vorherigen Aufgabe wird ein Standardregelkreis mit einem P-Regler betrachtet, somit gilt

Da ist gilt hier ebenfalls und somit für

Daraus folgt für den Nenner der Übertragungsfunktion

Daraus folgt für die vollständige Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises

Durch die zusätzliche Nullstelle in der Regelstrecke wirkt das in diesem Fall auf zwei Koeffizienten im Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises.

Um den Bereich für festzulegen, für den der geschlossene Regelkreis stabil ist, wird wieder das Hurwitz-Kriterium verwendet. Für das Nennerpolynom gilt

(4) 

Damit der geschlossene Regelkreis stabil ist, müssen alle Koeffizienten für in (4) vorhanden sein und das gleiche Vorzeichen besitzen. Die beiden Koeffizienten und sind vorhanden und positiv, somit muss für die verbleibenden Koeffzienten gelten.

Daraus folgt für

Für Stabilität müssten beide Bedinungen erfüllt sein, somit ist der geschlossene Regelkreis nur für stabil.

Zusätzlich müssen noch die Determinanten der Hurwitz Matrizen geprüft werden.

Für die Determinante von gilt und somit unabhängig von positiv.

Für ergibt sich

Für Stabilität muss die Determinante von positiv sein, somit gilt

Da diese Bedingung bereits durch die vorher aufgestellte Bedingung erfüllt ist, wird der stabile Bereich von nicht weiter eingeschränkt. Es ist also ein beliebig großes postives wählbar, ohne dabei die Stabilität zu verlieren.

Lösung:

Übertragungsfunktion (1):

 

Übertragungsfunktion (2): , beliebig großes postives wählbar.