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Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion:

  1. Entwerfen Sie einen PI-Regler für die Strecke so, dass die Phasenreserve der Kreisverstärkung beträgt. Wählen Sie dabei drei verschiedene Durchtrittsfrequenzen: . Bestimmen Sie die Regler-Parameter.

    ist die Frequenz, für die gilt:

  2. Welcher der drei Regler ist der Beste in Bezug auf Störunterdrückung und welcher ist der Beste in Bezug auf Rauschunterdrückung? Begründen Sie.

Lösungsweg:

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a) Reglerentwurf für die Strecke

Kritische Frequenz

Die kritische Frequenz berechnet sich als:

Die kritische Frequenz ist somit:

Es ergeben sich somit die folgenden Druchtrittsfrequenzen für die verschiedenen Regler:

Integrator-Zeitkonstante

Die Phase der Kreisverstärkung bei den Durchtrittsfrequenzen muss betragen, um eine Phasenreserve von zu erreichen.

Diese Gleichung kann nach aufgelöst werden:

Regler-Verstärkung

Der Betrag der Kreisverstärkung bei der Durchtrittsfrequenz ist per Definition gleich

Die Verstärkung kann wiefolgt berechnet werden:

Das Bode-Diagramm in der Abbildung zeigt die drei resultierenden Kreisverstärkungen.

Abbildung

b) Untersuchung der Regler in Bezug auf Störunterdrückung und Rauschunterdrückung

Störunterdrückung

Störungen werden mit der Sensitivität verstärkt.

Störunterdrückung ist vorwiegend bei kleinen Frequenzen wichtig. Deshalb sollte die Sensitivität bei diesen Frequenzen möglichst klein sein. Da die Kreisverstärkung integrierend ist, folgt im relevanten Frequenzbereich: .

Dies führt zu:

Der Integral-Teil des Reglers ist dominant. Folglich kompensiert der Regler mit der grössten Integrationsverstärkung tieffrequente Störungen am besten.

Dies ist Regler 2 .

Rauschunterdrückung

Rauschen wird mit der komplementären Sensitivität verstärkt.

Rauschunterdrückung ist vorwiegend bei hohen Frequenzen wichtig. Deshalb sollte die komplementäre Sensitivität (und somit auch ) in dem Frequenzbereich möglichst klein sein.

Für gilt:

Der Proportional-Teil des PI-Reglers ist dominant bei hohen Frequenzen. Folglich weist der Regler mit der kleinsten Verstärkung die kleinste Sensitivität auf hochfrequentes Messrauschen auf. Dies ist Regler

Lösung:

  1. ;

    ; 



  2. Regler 2 besitzt das beste Verhalten im Bezug auf Störunterdrückung.
    Regler 2 besitzt das beste Verhalten im Bezug auf Rauschunterdrückung.