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Aufgabenstellung:

Betrachtet wird der nachfolgende Regelkreis mit der Strecke und dem Regler

Abbildung

mit

Der geschlossene Regelkreis soll durch den Reglerparameter auf eine Dämpfung von (aperiodischer Grenzfall) ausgelegt werden.


a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass bei für die nachfolgende Rechenvorschrift gilt:

Die nachfolgenden Aufgabenteile beziehen sich auf den geschlossenen Regelkreis mit dem gegebenen aus Aufgabenteil a).

b) Bestimmen Sie die resultierenden Polstellen von in Abhängigkeit von und . Zeichnen Sie die Stabilitätsgrenze in das folgende -Diagramm ein und kennzeichnen Sie den stabilen Bereich.

Abbildung

Nun wird auf begrenzt.

c) Berechnen Sie die daraus folgenden Einschränkungen an die Parameter und und ergänzen Sie das -Diagramm.
d) Wie wirkt sich der Fall auf das Führungsverhalten aus?

Lösungsweg:

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a) Rechenvorschrift nachweisen

Die Berechnung für erfolgt mit den Polstellen der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises.

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet:

Mit Hilfe der pq-Formel werden die Polstellen der Übertragungsfunktion bestimmt:

Für den Fall des aperiodischen Grenzfalls muss die Diskriminante zu gesetzt werden. Damit ergibt sich die Reglerverstärkung zu:

b) Polstellen von und einzeichnen des stabilen Bereiches

Aus Teilaufgabe a) bzw. aus der Übertragungsfunktion mit folgt für die Polstellen der Übertragungsfunktion :

Mit Berücksichtigung der Stabilitätsbedingung ergibt sich für die Parameter und :

Stabilitätsbereich (Diagramm):

Abbildung

c) Einschränkungen an die Parameter und

Aus der Aufgabenstellung folgt:

Daraus folgen zusätzlich zwei weitere beschränkende Ungleichungen:

Gültiger Bereich (Diagramm):

Abbildung

d) Führungsverhalten im Fall

Für folgt und damit . Es kann keine Führungsgröße auf die Strecke bzw. auf den Ausgang übertragen werden.

Lösung:

  2. ; (Diagramm siehe Musterlösung)

  3. (Diagramm siehe Musterlösung)

  4. Es kann keine Führungsgröße auf die Strecke bzw. auf den Ausgang übertragen werden.