Zustandsraumdarstellung

Gegeben ist der Signalflussplan eines 1-Massenschwingers mit Weg- und Kraftanregung. Die Eingangsgrößen sind der Weg des Rades , und die Kraft am Aufbau. Die Ausgangsgröße ist der Weg des Aufbaus .

Stellen Sie das dynamische System in der Zustandsraumdarstellung dar.

Berechnen Sie die Realisierung der Übertragungsfunktion

in zweiter Standardform.

Die Dynamik des Systems ist beschrieben durch die Differentialgleichung

1. Wählen Sie Eingangsgrösse , Ausgangsgrösse und Zustandsvektor und stellen Sie damit das System in der Form
   dar.
   
   
2. Normieren Sie Ihr Modell aus Teilaufgabe a) und stellen Sie es in der Form
   dar. Die Normierungsgrössen seien für die -te Zustandsgrösse, für das Eingangssignal und für die Messgrösse (alle gegeben).
   
   
3. Berechnen Sie die Ruhelage des normierten Systems. Versuchen Sie zuerst das Resultat für aus physikalischen Überlegungen vorherzusagen.
   
   
4. Linearisieren Sie das normierte System um die oben berechnete Ruhelage. Geben Sie die Zustandsraumdarstellung des linearisierten, normierten Systems für kleine Auslenkungen aus dem gewählten Betriebspunkt an:
   

    

5. Interpretieren Sie das Resultat für den Vektor b.

Eine Magnetschwebebahn soll elektrodynamisch zum Schweben gebracht werden, was eine aktive Abstandsregelung erfordert.

a) Definieren Sie geeignete Zustandsgrößen und bestimmen Sie eine äquivalente Beschreibung des Systems durch einen Satz von Differentialgleichungen 1. Ordnung.

b) Bestimmen Sie , sodass sich im stationären Fall am Ausgang einstellt.

c) Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt . Kennzeichnen Sie die Matrizen und der linearen Zustandsraumdarstellung explizit.

Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind unabhängig von den vorherigen lösbar.

Im Folgenden soll nur noch das linearisierte Streckenmodell verwendet werden, für das mit einer bestimmten Parametrierung gilt:

d) Ist das System stabil? Ist es steuerbar?

Für das System soll nun ein Zustandsregler mit mit Polvorgabe entworfen werden, sodass der geschlossene Regelkreis nicht schwingungsfähig ist und alle Zeitkonstanten 0,5 sec betragen.

e) Berechnen Sie die Rückführmatrix der Zustandsrückführung.

Betrachtet wird das folgende Modell der Fahrradneigung ( Neigungswinkel, Lenkmoment):

Die Dynamik des Fahrrads kann vereinfacht mit der folgenden Gleichung beschrieben werden ( sind konstant.):

a) Geben Sie eine linearisierte Zustandsraumdarstellung in der Form

mit für kleine Abweichungen um den Arbeitspunkt mit

an. Wählen Sie den Winkel als Ausgangsgröße.

Für eine bestimmte Parametrierung ergeben sich die folgenden Zustandsraummatrizen, die im Folgenden verwendet werden sollen:

b) Weisen Sie nach, dass das lineare Zustandsraummodell stabil ist.

Das System soll nun mit einem Zustandsregler geregelt werden.

c) Bestimmen Sie die Konstanten und so, dass der geschlossene Regelkreis die Kennkreisfrequenz und die Dämpfung aufweist.

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

Betrachtet wird ein inverses Pendel mit geschwindigkeitsabhängiger Lagerreibung gemäß folgender Abbildung:

Das System kann durch folgende nichtlineare Differentialgleichung im Bereich beschrieben werden:

Der Winkel soll mit Hilfe des Motormoments in der oberen Ruhelage eingeregelt werden. und sind konstant.

Hinweis: Die Aufgabenteile a), b) und c)-d) können unabhängig voneinander gelöst werden.

a) Geben Sie eine linearisierte Zustandsraumdarstellung der Regelstrecke in der Form

mit für kleine Abweichungen um den Arbeitspunkt an.

Für eine bestimmte Parametrierung ergeben sich die folgenden Zustandsraummatrizen, die im Folgenden verwendet werden sollen:

b) Ist dieses System steuerbar?

Es soll ein Zustandsregler mit der Rückführung ausgelegt werden.

c) Geben Sie die neue Systemmatrix für den geschlossenen Regelkreis in Abhängigkeit von und an.
d) Bestimmen Sie die Stabilitätsbedingungen für und , sodass der geschlossene Regelkreis BIBO-stabil ist. Zeichnen Sie die Stabilitätsgrenzen in das folgende Diagramm ein und schraffieren Sie die stabilen Bereiche.

Gegeben ist der Signalflussplan einer vereinfachten Bremsanlage.

Die Eingangsgröße ist die Fußkraft und die Ausgangsgröße ist der Bremsdruck .

Stellen Sie das dynamische System in der Zustandsraumdarstellung dar.

Gegeben ist der dargestellte Signalflussplan eines geragelten Systems. Das System hat zwei Eingangsgrößen und und eine Ausgangsgröße .

Ermitteln Sie für

alle Matrizen A, B, C, D der Zustandsraumdarstellung

Gegeben ist das System von Differentialgleichungen für einen 2-Massenschwinger mit Weganregung:

Ermitteln Sie für

alle Matrizen A, B, C, D der Zustandsraumdarstellung

Gegeben ist ein kraftangeregter 1-Massenschwinger in Zustandsraumdarstellung mit der Zustandsdifferentialgleichung

und der Ausgangsgleichung

Bestimmen Sie die Rückführmatrix für und so, dass das System die Pole besitzt.

Gegeben ist der nachfolgende Wirkungsplan eines physikalischen Systems.

a) Ist das Übertragungssystem sprungfähig?
b) Geben Sie die Zustandsraumdarstellung mit dem Zustandsvektor in der folgenden Form an:

Für eine bestimmte Parametrierung ergibt sich die folgende Systemmatrix , die im Weiteren verwendet werden soll:

c) Ist das Zustandsraummodell stabil?

Übernehmen Sie in der folgenden Teilaufgabe die Vektoren und den Skalar unverändert aus Aufgabenteil b).

d) Ist das physikalische System vollständig steuer- bzw. beobachtbar?

Hinweis: Die Determinante einer - Matrix lässt sich wie folgt berechnen:

Das System, gegeben durch die Zustandsdarstellung

soll untersucht und mittels Eigenwertvorgabe geregelt werden.

Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Geben Sie die Transformationsmatrix an, die das System in Regelungsnormalform (RNF) transformiert. Zeichnen Sie das Blockschaltbild der Darstellung in RNF. Berechnen Sie für das System in RNF den Rückführvektor so, dass der geschlossene Regelkreis Eigenwerte bei und besitzt. Ermitteln Sie mit Hilfe der Ackermann-Formel den Rückführvektor in Originalkoordinaten.

Eine Kugel mit der Masse rollt auf einem drehbar gelagerten Ausleger, der durch das Moment angeregt wird.

Das System wird durch folgende nichtlineare Differenzialgleichungen (mit konstant) beschrieben:

1. Bestimmen Sie für die Gleichungen 1) und 2) jeweils eine linearisierte Form in einem Arbeitspunkt mit .
   
   
2. Geben Sie für das in linearisierte System eine Zustandsraumdarstellung in folgender Form an:
   mit
   
   
3. Ist das in linearisierte System steuerbar? Begründen Sie Ihre Aussage.