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Aufgabenstellung:

Das System, gegeben durch die Zustandsdarstellung

soll untersucht und mittels Eigenwertvorgabe geregelt werden.

Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Geben Sie die Transformationsmatrix an, die das System in Regelungsnormalform (RNF) transformiert. Zeichnen Sie das Blockschaltbild der Darstellung in RNF. Berechnen Sie für das System in RNF den Rückführvektor so, dass der geschlossene Regelkreis Eigenwerte bei und besitzt. Ermitteln Sie mit Hilfe der Ackermann-Formel den Rückführvektor in Originalkoordinaten.

Lösungsweg:

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Gegeben ist das LTI-System

,

Die Stabilität des Systems wird anhand der Eigenwerte der Dynamikmatrix überprüft

Die berechneten Eigenwerte und zeigen eindeutig die Instabilität des Systems.

Die Steuerbarkeit wird mit Hilfe der Kalmanschen Steuerbarkeitsmatrix nachgewiesen

Da rank gilt, ist das System vollständig steuerbar.

Um das System in die Regelungsnormalform (RNF) zu transformieren wird die Transformationsmatrix und ihre Inverse berechnet.

Der Vektor ist die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix

Nach der Berechnung von der Transformationsmatrix und ihrer Inversen kann das System mit Hilfer der Transformation (oder ) in Regelungsnormalform überführt werden.

Die Dynamikmatrix in der Regelungsnormalform ergibt sich zu

Somit hat der Regelkreis die folgende Dynamikmatrix

Die gewünschte Dynamikmatrix des geschlossenen Regelkreises ergibt sich aus dem gewünschten charakteristischen Polynom:

Mit Hilfe der gewünschten Dynamikmatrix können die Regelerkoeffizienten durch einen Koeffizientenvergleich bestimmt werden:

Aus dem linearen Gleichungssystem folgt also .

Um den Rückführvektor mit Hilfe der Ackermannformel (für ) zu berechnen, müssen und die Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms bekannt sein.

Ackermannformel:

Durch Einsetzen ergibt sich .

Lösung:

instabil, vollständig steuerbar