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Aufgabenstellung:

Ein Körper mit Masse ist an einem Feder-Dämpfer Element aufgehängt und kann sich reibungsfrei auf einer Rampe auf und ab bewegen. Die Neigung der Rampe ist konstant. Das Feder-Dämpfer Element der Firma Fuchs hat eine nichtlineare Stahlfeder . Der Dämpfer ist linear, die Dämpfungskonstante kann aber durch Drehen eines roten Rädchens angepasst werden. Das Signal kann direkt gemessen werden.

Abbildung

Die Dynamik des Systems ist beschrieben durch die Differentialgleichung

  1. Wählen Sie Eingangsgrösse , Ausgangsgrösse und Zustandsvektor und stellen Sie damit das System in der Form
    dar.

  2. Normieren Sie Ihr Modell aus Teilaufgabe a) und stellen Sie es in der Form
    dar. Die Normierungsgrössen seien für die -te Zustandsgrösse, für das Eingangssignal und für die Messgrösse (alle gegeben).

  3. Berechnen Sie die Ruhelage des normierten Systems. Versuchen Sie zuerst das Resultat für aus physikalischen Überlegungen vorherzusagen.

  4. Linearisieren Sie das normierte System um die oben berechnete Ruhelage. Geben Sie die Zustandsraumdarstellung des linearisierten, normierten Systems für kleine Auslenkungen aus dem gewählten Betriebspunkt an:

     

  5. Interpretieren Sie das Resultat für den Vektor b.

Lösungsweg:

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a) Die Differentialgleichung enthält als einzige dynamische Variable, welche gleichzeitig die Messgrösse ist. ist der Eingang des Systems.

Der Zustandsvektor und die Ein- und Ausgangsgrössen werden somit gewählt als

Daraus resultiert die Darstellung

b) Die Zustands-, Eingangs- und Ausgangsgrössen werden normiert mit

Folglich gilt für die Ableitungen der Zustandsgrössen

Durch Ersetzen von und im nichtlinearen Modell resultiert das normierte nichtlineare Modell

c) Der Eingang beeinflusst nur die Dämpfung des Systems. Die Dämpfung wiederum ist proportional zur Geschwindigkeit , welche in der Ruhelage per Definition gleich Null ist. Der Eingang kann also beliebige Werte annehmen und hat keinen Einfluss auf die Ruhelage

Die Ruhelage des normierten Systems ist gegeben durch :

Aus der ersten Gleichung folgt . Eingesetzt in der zweiten Gleichung ergibt dies

Die Ruhelage ist demnach

d) Die Ruhelage wird als Betriebspunkt gewählt. Die linearen Systemmatrizen sind gegeben durch

e) Da das System um die Ruhelage linearisiert wird, hat eine Änderung der Dämpfungskonstante keinen Einfluss auf das System. Über die frei wählbare Ruhelage kann zwar die Grundeinstellung des Dämpers modelliert werden, welche über den Eintrag in der A-Matrix einen Einfluss auf das System hat. Abweichungen der Dämpfungskonstante von dieser Ruhelage haben aber keinen Einfluss auf das System. Bei dieser Linearisierung geht also eine wichtige Eigenschaft des nichtlinearen Systems verloren.

Lösung:





  3. beliebig,






  5. siehe Musterlösung