Linearisierung nichtlinearer Systeme

Aufgaben:

Aufgabe 1

Für die Auslegung einer Fahrwerksregelung sind die Kennlinien eines aktiven Dämpfers zu linearisieren. Im Bild ist die gemessene Kennlinienschar dargestellt, mit der Dämpferkraft der Druckstufe als Funktion der Geschwindigkeit und des Ansteuerstroms .

Abbildung

 

 

Stellen Sie die linearisierte Gleichung als zweidimensionale Gleichung für den Arbeitspunkt AP auf. Im Arbeitspunkt gilt: .

Aufgabe 2

Linearisieren Sie die folgende nichtlineare Gleichung für die druck- und geschwindigkeitsabhängige Reibung Der Reibbeiwert ist dabei konstant, die Geschwindigkeit und der Druck sind variabel.

Aufgabe 3

Betrachtet wird das folgende System, dessen nichtlinearer Teil durch ein Kennlinienfeld beschrieben wird:

 

Abbildung

Abbildung

Es gilt zunächst: Im Arbeitspunkt (1) gilt: .

a) Bestimmen Sie im Arbeitspunkt (1).
b) Das stabile System erfährt nun die Anregung . Bestimmen Sie den neuen statischen Endwert von .


Nun soll das System mit einem -Regler im neuen Arbeitspunkt (2) geregelt werden.

c) Ermitteln Sie die statischen Endwerte von , die bei einem Sprung des Sollwertes auf erreicht werden.


Hinweis: Die folgende Teilaufgabe kann unabhängig gelöst werden.
d) Bestimmen Sie die Linearisierung in der Umgebung des Arbeitspunktes 2.

Aufgabe 4

Überprüfen Sie die folgenden dynamischen Systeme auf Linearität bzw. Zeitinvarianz.

Aufgabe 5

Betrachtet wird in Bild 1 ein Behälter, der über eine drehzahlvariable Pumpe gefüllt und über ein Ventil entleert wird. Der Zufluss ist dabei von der Ankerspannung sowie vom Druck im Behälter abhängig.

Abbildung

Bild 1: Behälter mit Pumpe

 

Der hydraulische Widerstand des Ventils kann durch die Gleichung mit dem Parameter sowie dem Druck berechnet werden. Der Arbeitspunkt (AP) der Pumpe ist durch einen Kreis gekennzeichnet.

 

Abbildung

Bild 2: Durchflusskennlinie Pumpe

  1. Linearisieren sie die nichtlineare Gleichung von Geben Sie die linearisierte Gleichung mit allen notwendigen Kennwerten an. Verwenden Sie für die Berechnung folgenden Wert für den Differenzdruck: .
  2. Geben Sie die allgemeine linearisierte Gleichung von an und bestimmen Sie alle Parameter anhand der Kennlinien in Bild 2.
Aufgabe 6

Betrachtet wird ein Regelkreis mit Störgrößenaufschaltung ,

Abbildung

dessen nichtlineare Strecke durch ein Kennlinienfeld beschrieben wird:

Abbildung

Zunächst gilt . Betrachtet wird der Arbeitspunkt (1) mit

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

a) Bestimmen Sie den Regelfaktor für und einen Sprung der Störgröße auf

b) Ermitteln Sie die Linearisierung .

 

In einem neuen Arbeitspunkt (2) wurde die Linearisierung bereits bestimmt:

Weiterhin soll nun ein Regler mit eingesetzt werden.

c) Stellen Sie die Störübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit von für kleine Abweichungen um den Arbeitspunkt (2) auf. Weisen Sie nach, dass das System für eine proportionale Störgrößenaufschaltung stabil ist.
d) Berechnen Sie so, dass der Einfluss von auf für den stationären Zustand im Arbeitspunkt (2) vollständig kompensiert wird.

Aufgabe 7

Eine durch ein Kennlinienfeld beschriebene nichtlineare Regelstrecke wird durch einen P-Regler mit Vorfilter geregelt.

Das System befindet sich im Arbeitspunkt mit und .

Abbildung

Abbildung

  1. Bestimmen Sie , so dass sich bei einem Sprung der Störgröße auf ein Regelfaktor von einstellt.
  2. Bestimmen Sie eine, für kleine Abweichungen um , gültige Linearisierung der Regelstrecke und geben Sie die zugehörige Störungsübertragungsfunktion für den geschlossenen Regelkreis in der folgenden Form an:

Aufgabe 8

Gegeben ist die folgende Strecke mit einem nichtlinearen Element

Abbildung

Es soll überprüft werden, für welche Arbeitspunkte das linearisierte System mit einem Regler , stabilisiert werden kann.

Abbildung

a) Linearisieren Sie die Regelstrecke in einem Arbeitspunkt Bestimmen Sie die sich daraus ergebende Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von in der Form

b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von den Bereich von , für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.
c) Zeichnen Sie den Bereich in der -Ebene, für den der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Abbildung

Aufgabe 9

Gegeben ist das dargestellte System eines elektrischen Hubmagnetes.

Es sind folgende Differentialgleichungen bekannt:

Des Weiteren ist die Ruhelage des System

Abbildung

  1. Linearisieren Sie das dargestellte System um die angegebene Ruhelage bei einer konstanten Eingangsspannung

  2. Stellen Sie das linearisierte System in Form eines Blockschaltbildes dar.

Aufgabe 10

Gegeben ist das dargestellte System eines elektrischen Hubmagnetes. 

Für das System wurden folgende Differentialgleichungen aufgestellt:

Des Weiteren existiert die Ruhelage des System bei

Abbildung

  1. Linearisieren Sie das dargestellte System um die angegebene Ruhelage bei einer konstanten Eingangsspannung .

  2. Stellen Sie das linearisierte System in Form eines Blockschaltbildes dar.

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