Gedämpfte Schwingungen

Eine eindimensionale gedämpfte harmonische Schwingung eines Feder-Masse-Systems wird beschrieben durch die Differentialgleichung

Die Masse des angehängten Körpers ist und die Federkonstante der Feder .

Welcher Wert des Dämpfungskoeffizienten muss eingestellt werden, um die Bedingung des aperiodischen Grenzfalls zu erfüllen?

Mit einem POHLschen Drehpendel werden Drehschwingungen untersucht.
In einer ersten Messung misst man für zehn Schwingungen des ungedämpften Systems eine Gesamtzeit .
Um das System viskos zu dämpfen, wird in einem zweiten Versuch eine Wirbelstrombremse eingeschaltet. Man beobachtet in zehn Schwingungsperioden eine Abnahme der Auslenkung (abgelesen auf einem Skalenring) von anfangs 50 Skalenteilen auf 10 Skalenteile.
Bei einer viskos gedämpften Schwingung nehmen die Auslenkungen exponentiell mit der Zeit ab, gemäß

Bestimmen Sie aus diesen Angaben

1. den Abklingkoeffizient und

2. den Dämpfungsgrad des schwingenden Systems.

Für ein geschwindigkeitsproportional gedämpftes Feder-Masse-System ergibt sich für den Schwingfall als Kreisfrequenz einer gedämpften Schwingung

dabei ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems und der Dämpfungsgrad des schwingenden Systems.

Tragen Sie grafisch das (dimensionslose) Kreisfrequenzverhältnis als Funktion des Dämpungsgrades auf.

Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung

für den Kriechfall - gekennzeichnet durch die Forderung eines Dämpfungsgrades - gelöst wird durch den Ansatz

Dabei sollen selbstverständlich die Vorfaktoren und der beiden Exponentialfunktionen ungleich null sein.
Gehen Sie zum Beweis folgendermaßen vor:

1. Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung des Lösungsansatzes.

2. Setzen Sie den Ansatz sowie die beiden Ableitungen in die vorgegebene Differentialgleichung ein.

3. Fassen Sie alle Terme zusammen, welche die gleiche Exponentialfunktion enthalten.

4. Zeigen Sie, dass die Summe der Ausdrücke, die vor den beiden Exponentialfunktionen stehen, jeweils null ergeben.
   Damit erfüllt der Ansatz die Differentialgleichung.

Ein LKW ( ) in Fahrt schwingt nach Überfahren eines Schlaglochs gedämpft mit der Periodendauer , wobei die Amplitude nach dieser Zeit um abgenommen hat.

1. Bestimmen Sie den Abklingkoeffizient und den Dämpfungsgrad der Schwingung. Wie groß ist die Federsteifigkeit eines Federbeins?
2. Wie groß wäre der Dämpfungskoeffizient der Dämpfer, wenn bei Überfahren einer Fahrbahnkante die neue Straßenlage schnellstmöglich ohne Überschwingen eingenommen wird?

Ein gedämpftes mathematisches Pendel wird im Schwerefeld der Erde durch ein äußeres Moment (Eingangsgröße) um den Winkel (Ausgangsgröße) ausgelenkt.

1. Führen Sie für eine Drehmomentbilanz um die Drehachse durch und drücken Sie die Momente durch den Drehwinkel und durch dessen zeitliche Ableitungen aus.
2. Geben Sie die linearisierte Differentialgleichung (DGL) aus 1. für kleine Winkelauslenkungen und Momentenänderungen um die statische Ruhelage an. Wie groß sind und und welche Art von DGL liegt vor?
3. Geben Sie die Übertragungsfunktion an.
4. Es soll ab jetzt gelten.
   Wie lautet die auf SI-Einheiten normierte Übertragungsfunktion ? Geben Sie deren Pole (Nullstellen des Nenners) an. Wie groß sind die Abklingzeit und die Eigenkreisfrequenz der Schwingung, wenn für das Pendel ausgelenkt und losgelassen wird?

Ein Auto senkt sich beim Zusteigen von 2 Personen mit je in den Radfedern um . Aus Symmetriegründen sei die Untersuchung nur einer Radaufhängung zulässig.

1. Wie groß ist die Periodendauer ungedämpfter Räder beim Überfahren einer Kante?
2. Auf welchen Wert ändert sich der Wert in 1., wenn 4 Personen im Wagen sitzen?
3. Wie lautet die Schwingungsgleichung für die Auslenkung des gefederten und gedämpften Wagens (Dämpfungskoeffizient ), wenn dieser über einen Bordstein fährt?
4. Wie groß muss der Dämpfungskoeffizient des Dämpfers mindestens sein, damit beim Überfahren einer Bodenunebenheit im Fahrzeug mit 2 Personen kein "Schaukeln" auftritt?