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Aufgabenstellung:

Abbildung

Ein gedämpftes mathematisches Pendel wird im Schwerefeld der Erde durch ein äußeres Moment (Eingangsgröße) um den Winkel (Ausgangsgröße) ausgelenkt.

  1. Führen Sie für eine Drehmomentbilanz um die Drehachse durch und drücken Sie die Momente durch den Drehwinkel und durch dessen zeitliche Ableitungen aus.
  2. Geben Sie die linearisierte Differentialgleichung (DGL) aus 1. für kleine Winkelauslenkungen und Momentenänderungen um die statische Ruhelage an. Wie groß sind und und welche Art von DGL liegt vor?
  3. Geben Sie die Übertragungsfunktion an.
  4. Es soll ab jetzt gelten.
    Wie lautet die auf SI-Einheiten normierte Übertragungsfunktion ? Geben Sie deren Pole (Nullstellen des Nenners) an. Wie groß sind die Abklingzeit und die Eigenkreisfrequenz der Schwingung, wenn für das Pendel ausgelenkt und losgelassen wird?

Lösungsweg:

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1. Führen Sie für eine Drehmomentbilanz um die Drehachse durch und drücken Sie die Momente durch den Drehwinkel und durch dessen zeitliche Ableitungen aus

Drehmomentbilanz um Drehachse :

mit folgt

2. Linearisierte Differentialgleichung (DGL). Wie groß sind und Art der DGL

Für kleine Auslenkungen um den Arbeitspunkt (hier: statische Ruhelage) wird die nichtlineare DGL aus 1.durch eine lineare DGL der Form angenähert.

Die Konstante folgt aus der 1. Ableitung am Arbeitspunkt :

Daraus ergibt sich die lineare DGL zu:

Inhomogene, lineare DGL 2. Ordnung

3. Geben Sie die Übertragungsfunktion an

Bei verschwindenden Anfangsbedingungen wird durch LAPLACE-Transformation aus einer -ten Ableitung im Zeitbereich eine Multiplikation mit im LAPLACE-Bereich:

Die LAPLACE-Transformation führt eine DGL in eine algebraische Gleichung in über. Dadurch kann wieder ein "Verstärkungsfaktor" angegeben werden, der jetzt allerdings wegen der komplexen Frequenzvariablen von der Frequenz abhängig ist.

4. Normierte Übertragungsfunktion , Pole, Abklingzeit und Eigenkreisfrequenz

Pole aus

Lösung: