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Aufgabenstellung:

Für ein geschwindigkeitsproportional gedämpftes Feder-Masse-System ergibt sich für den Schwingfall als Kreisfrequenz einer gedämpften Schwingung

dabei ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems und der Dämpfungsgrad des schwingenden Systems.

Tragen Sie grafisch das (dimensionslose) Kreisfrequenzverhältnis als Funktion des Dämpungsgrades auf.

Lösungsweg:

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Kreisfrequenzverhältnis aufstellen:

Die Kreisfrequenz bei einem Dämpfungsgrad ergibt sich zu

Dabei ist die Eigenkreisfrequenz des Systems für den dämpfungsfreien Fall.

Daraus erhält man für das Kreisfrequenzverhältnis in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrades

Um den Wert dieses Quotienten grafisch in Abhängigkeit von aufzutragen, bieten sich zwei Lösungswege an:

1) Wertetabelle:

Sie stellen eine Wertetabelle für auf und zeichnen dann ein Diagramm oder Sie lassen Ihren Taschenrechner arbeiten.

(2) Formelanalyse

Quadrieren der obigen Beziehung liefert

Dies ist aber nichts anderes als die algebraische Gleichung eines Kreises

mit Radius um den Kreis-Mittelpunkt .

Zeichnung:

Da und auch ist, interessiert allerdings nur der Viertelkreis im ersten
Quadranten. Damit erhält man die grafische Darstellung

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Lösung:

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