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Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung

für den Kriechfall - gekennzeichnet durch die Forderung eines Dämpfungsgrades - gelöst wird durch den Ansatz

Dabei sollen selbstverständlich die Vorfaktoren und der beiden Exponentialfunktionen ungleich null sein.
Gehen Sie zum Beweis folgendermaßen vor:

  1. Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung des Lösungsansatzes.

  2. Setzen Sie den Ansatz sowie die beiden Ableitungen in die vorgegebene Differentialgleichung ein.

  3. Fassen Sie alle Terme zusammen, welche die gleiche Exponentialfunktion enthalten.

  4. Zeigen Sie, dass die Summe der Ausdrücke, die vor den beiden Exponentialfunktionen stehen, jeweils null ergeben.
    Damit erfüllt der Ansatz die Differentialgleichung.

Lösungsweg:

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Der Lösungsansatz für die Differentialgleichung  lautet:

Dies ist ein Beispiel für die Vorgehensweise, durch einen geeigneten Ansatz für eine Lösung, diese durch Einsetzen in die Differentialgleichung zu 'verifizieren', also für 'wahr' und damit für 'richtig' zu erklären.

Ableitungen bilden:

Die 1. Ableitung nach der Zeit ergibt

Die 2. Ableitung nach der Zeit ergibt

In einem zweiten Teilschritt sind diese Ableitungen in die Differentialgleichung einzusetzen.

Zweckmäßigerweise schreibt man die drei Teilausdrücke untereinander und bildet dann die Summe, die null ergeben muss.

Die Summe der linken Seite ist null. Deshalb muss zur 'Verifizierung' des Ansatzes gezeigt werden, dass die Summe aller Glieder der rechten Seiten für alle Zeiten null ergibt.

Zweckmäßigerweise ordnet man nach den beiden Ausdrücken im Lösungsansatz und

In einem dritten Teilschritt fasst man sämtliche Ausdrücke zusammen, die jeweils die gleiche Exponentialfunktion enthalten; dies liefert

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme in den eckigen Klammern

Exponentialfunktionen sind stets ungleich null. Die beiden Teilamplituden (Konstanten) und sind voraussetzungsgemäß ebenfalls ungleich null.

Um die Gleichung zu erfüllen, müssen deshalb notwendig die Ausdrücke in den eckigen Klammern jede für sich null ergeben. Dies ist in einem vierten Teilschritt zu prüfen.

Beide Klammern, die bei den Exponentialfunktionen als Faktoren stehen, verschwinden. Deshalb erfüllt der Lösungsansatz die Differentialgleichung; er ist eine Lösung der Differentialgleichung.

Wie es für eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung sein muss, enthält die Lösung noch die beiden willkürlichen Integrationskonstanten und , die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen.

Lösung:

Siehe Musterlösung.