Modellierung

Gegeben ist der dargestellte Schaltkreis eines elektrischen Hubmagneten. Durch das Aufbringen eines Stroms auf die vom Abstand der Kugel abhängige Induktivität wird ein Magnetfeld erzeugt, welches eine Kraft auf die Eisenkugel mit der Masse ausübt und diese anhebt. Der Stromkreis enthält neben der Induktivität einen ohmschen Widerstand und es liegt eine Spannungsquelle an. Auf die Kugel selbst wirkt das Schwerefeld der Erde mit der Gravitation . Der Abstand zwischen der Kugel und dem Kern des Hubmagneten wird mit bezeichnet.

1. Bestimmen Sie ein dynamisches Systemmodell, welches das Verhalten des dargestellten Systems beschreibt.

2. Was lässt sich über die Linearität des erhaltenen Modells aussagen?

3. Ermitteln Sie alle möglichen Ruhelagen des Systems.

Gegeben sei der elektrische Schaltkreis mit dem ohmschen Widerstand , dem Kondensator mit

der Kapazität und einer Diode, welche durch die Strom-Spannungs-Beziehung

beschrieben wird.

1. Stellen Sie die Maschen- und Knotensätze des elektrischen Systems auf.
2. Geben Sie die nichtlineare Differentialgleichung zur Beschreibung des EinAusgangsverhaltens des Systems an und verwenden Sie dabei die Bezeichnung für den Systemausgang und für den Systemeingang.
3. Linearisieren Sie die nichtlineare Differentialgleichung in dem Arbeitspunkt und geben sie die linearisierte Differentialgleichung an.

Abbildung 1.1 zeigt den Ankerkreis einer fremderregten Gleichstrommaschine mit variabler Ankerspannung . Der Erregerfluss der Maschine wird als konstant angenommen. Für die an der Maschine induzierte Spannung und das induzierte Moment gilt:

Dabei stellen und maschinenspezifische Konstanten dar, ist der Ankerstrom und stellt die Winkelgeschwindigkeit dar.

Die Gleichstrommaschine treibt den in Abbildung dargestellten Seilzug an, der eine angehängte Masse heben soll. Die Position der Masse des Hubvorgangs kann im Weiteren als Messgröße angesehen werden. Für das an der Winde herrschende Moment, mit Berücksichtigung des Trägheitsmoments des gesamten Systems, gilt nach Drehimpluserhaltungsatz

Neben der auf die Masse wirkenden Gewichtskraft wirke der rotatorischen Bewegung das nichtlineare Reibmoment entgegen, das vereinfacht durch

beschrieben wird. Es wird angenommen, dass das Seil dehnungsfrei ist und seine Dynamik vernachlässigt werden kann.

 

Hinweis: Für den skalaren Fall gilt, dass das Drehmoment das Produkt aus Kraft und Hebelarm ist.

a) Wählen Sie geeignete Eingangs-, Zustands- und Augangsgrößen und stellen Sie das mathematische Modell des Gesamtsystems in der Form

auf.

b) Welche stationäre Eingangsgröße ergibt sich in der Ruhelage des Systems?
c) Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt aus (b) und stellen Sie es wie folgt dar:

Gegeben sind die beiden linearen Systeme

Das System in Abbildung a) wurde bereits in der ersten Übung behandelt und wird mit der Differentialgleichung

(1)

beschrieben. Der in Abbildung b) dargestellte Schaltkreis besteht aus einem Widerstand , einer Induktivität und einer Kapazität . Der Schaltkreis wird mit einer Eingangsspannung von beaufschlagt und es fällt eine Spannung am Ausgang an.

1. Bestimmen Sie die Differentialgleichung die das Ausgangsverhalten des in b) dargestellten Schaltkreises in Abhängigkeit von der Eingangsspannung beschreibt.
2. Vergleichen Sie die erhaltene Differentialgleichung mit der in (1) beschriebenen Differentialgleichung des mechanischen Systems.

In dieser Aufgabe werden Sie das System in der Abbildung analysieren. Sie werden die Regelstrecke (Elektromotor und Getriebe) modellieren. Ihr Modell werden Sie dann mit einem (P-)Regler zu einem Regelsystem erweitern. Die folgende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung der Regelstrecke.

Die Eingangsgrösse der Regelstrecke ist die Ankerspannung Für den Ankerkreis des Elektromotors gilt das Kirchhoffsche Gesetz:

Die induzierte Spannung hängt von der Rotationsgeschwindigkeit des Motors ab. Wir nehmen an, dass dieser Zusammenhang wie folgt linear ist:

Wir nehmen auch an, dass das Drehmoment des Motors von der Stromstärke linear abhängt:

Für das Getriebe mit dem Übersetzungsverhältnis gilt (idealisiert ohne Reibung):

Der Drallsatz für den Motor liefert:

Verwenden Sie folgende Zahlenwerte für diese Aufgabe:

Aufgabenstellungen

a) Leiten Sie die Differentialgleichung her.

b) Leiten Sie ein Zustandsraummodell für das gegebene System her. Verwenden Sie als Zustandsvariablen die Geschwindigkeit und die Position auf der Abtriebsseite des Getriebes. Der Ausgang des Systems ist der Winkel .

c) Leiten Sie aus der Zustandsraumdarstellung die Übertragungsfunktion her. (Eine Übertragungsfunktion beschreibt den den Einfluss vom Eingang auf den Ausgang des Systems. Im gegebenen Fall ist der Eingang und der Ausgang )

Nun wird die Regelstrecke mit einem P-Regler zu einem Regelsystem erweitert. Der Sollwert wird mit dem Istwert verglichen und die Differenz der beiden in den P-Regler geführt. Der Ausgang des Reglers ist die Spannung . Diese Spannung wird im Elektronikteil (Verstärker) zur Ankerspannung umgewandelt. Da der Regler digital realisiert ist, muss mit einer kleinen Verzögerung gerechnet werden. Diese Verzögerung zwischen und soll mit einer Totzeit modelliert werden.

d) Wie lautet die Übertragungsfunktion für die Kreisverstärkung ?
e) Werten Sie das Nyquist-Kriterium aus. Welche Eigenschaften muss die Kreisverstärkung aufweisen, damit der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil ist? Sind diese Anforderungen erfüllt?