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Aufgabenstellung:

Gegeben sei der elektrische Schaltkreis mit dem ohmschen Widerstand , dem Kondensator mit

Abbildung

der Kapazität und einer Diode, welche durch die Strom-Spannungs-Beziehung

beschrieben wird.

  1. Stellen Sie die Maschen- und Knotensätze des elektrischen Systems auf.
  2. Geben Sie die nichtlineare Differentialgleichung zur Beschreibung des EinAusgangsverhaltens des Systems an und verwenden Sie dabei die Bezeichnung für den Systemausgang und für den Systemeingang.
  3. Linearisieren Sie die nichtlineare Differentialgleichung in dem Arbeitspunkt und geben sie die linearisierte Differentialgleichung an.

Lösungsweg:

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a) Maschen- und Knotensätze

Maschensatz:

Knotensatz:

b) Nichtlineare Differentialgleichung

Es gilt Somit ergibt sich aus dem Maschensatz

Desweiteren gilt aufgrund der Bauteileigenschaften des Kondensators bzw. Zusammen mit der angegebenen Strom-Spannungsbeziehung der Diode ergibt sich dann

Durch Einsetzen der Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung und und anschließendes Ausmultiplizieren ergibt sich die gesuchte Differentialgleichung.

c) Linearisierung

Im Folgenden wird ein systematischer Ansatz der Linearisierung vorgestellt. Dazu wird die zu linearisierende Differentialgleichungen zunächst umgeformt

Mit Hilfe des Taylor-Ansatzes ergibt sich daraus die linearisierte Differentialgleichung zu

Somit müssen die drei partiellen Differentiale berechnet werden. Diese ergeben sich

Setzt man die Koeffizienten in (1) ein, ergibt sich die gesuchte linearisierte Differentialgleichung zu

Lösung:

  1. Maschensatz:

    Knotensatz: