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Aufgabenstellung:

AbbildungGegeben ist der dargestellte Schaltkreis eines elektrischen Hubmagneten. Durch das Aufbringen eines Stroms auf die vom Abstand der Kugel abhängige Induktivität wird ein Magnetfeld erzeugt, welches eine Kraft auf die Eisenkugel mit der Masse ausübt und diese anhebt. Der Stromkreis enthält neben der Induktivität einen ohmschen Widerstand und es liegt eine Spannungsquelle an. Auf die Kugel selbst wirkt das Schwerefeld der Erde mit der Gravitation . Der Abstand zwischen der Kugel und dem Kern des Hubmagneten wird mit bezeichnet.

  1. Bestimmen Sie ein dynamisches Systemmodell, welches das Verhalten des dargestellten Systems beschreibt.

  2. Was lässt sich über die Linearität des erhaltenen Modells aussagen?

  3. Ermitteln Sie alle möglichen Ruhelagen des Systems.

Lösungsweg:

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a) Dynamisches Systemmodell

Es existieren in diesem Beispiel zwei verschiedene technische Systeme, die miteinander verkoppelt sind. Es gilt zunächst die Differentialgleichungen aufzustellen, die das dynamische Verhalten beider Systeme beschreiben.

Zunächst wird das elektrische Teilsystem betrachtet.

Die Kirchhoffsche Maschengleichung liefert

Die Spannungen des ohmschen Widerstands und der Induktivität können durch die jeweiligen Bauteilgleichungen beschrieben werden.

  • Widerstand:
  • Induktivität:

Die Bauteilgleichungen in die Maschengleichung eingesetzt und nach der höchsten Ableitung umgestellt ergibt dann schlussendlich

Im zweiten Schritt wird das mechanische Teilsystem betrachtet.

Nach Newtons zweitem Axiom gilt

Auf die Kugel wirken die folgenden Kräfte:

  • Gravitation:
  • Mag. Kraft:

Eingesetzt in Newtons zweites Axiom ergibt sich die DGL für das mechanische Teilsystem

Zusammengefasst wird das dargestellte System durch die folgenden gekoppelten Differentialgleichungen beschrieben

Hinweis:

Um beide Differentialgleichungen einheitlich darzustellen wurde in der DGL des mechanischen Teilsystems die Schreibweise durch die Schreibweise ersetzt. Es gilt 

b) Linearität des erhaltenen Modells

Es fällt auf, dass in beiden aufgestellten Differentialgleichungen Terme enthalten sind, die der in der ersten Aufgabe gezeigten Form einer lineraren DGL entsprechen. Beispiele sind das Produkt aus Stromstärke und Abstand der Kugel, oder die Quadrate dieser beiden Größen. Es soll das erhaltene System an dieser Stelle trotzdem noch einmal formal auf Linearität geprüft werden.

Hierzu wird analog zur Aufgabe a) folgendes für die zeitabhängigen Größen angenommen:

Es wird exemplarisch die DGL des elektrischen Teilsystems betrachtet. Es gilt

Somit ist die DGL des elektrischen Teilsystems nicht linear. Daraus folgt, das unabhängig von der Linearität der zweiten DGL das System nichtlinear ist, da beide Gleichungen mit einander gekoppelt sind. In diesem Fall, wie sich analog zum obrigen Vorgehen zeigen lässt, sind sogar beide Differentialgleichungen nichtlinear.

c) Mögliche Ruhelagen des Systems

Unter einer Ruhelage versteht man einen Zustand, an dem sämtliche Bewegungen im System abgeklungen sind (in Ruhe). Das bedeutet, das System wird mit einer konstanten Eingangsgröße beaufschlagt und gewartet, bis das System vollständig in Ruhe ist. Der Zustand, in dem das System zur Ruhe kommt, wird Ruhelage bezeichnet.

Wie definiert, müssen für eine Ruhelage alle Bewegungen abgeklungen sein. Daher gilt

In die Differentialgleichungen eingesetzt ergibt sich

Um die von der konstanten Eingangsspannung abhängigen Ruhelagen zu ermitteln, werden die beiden erhaltene Gleichungen nach den beiden Größen und aufgelöst.

Aus der erhaltenen Gleichung des mechanischen Teilsystems ergibt sich durch auflösen nach

Die erhaltene Gleichung für wird nun in die andere erhaltene Gleichung aus dem elektrischen Teilsystem eingesetzt, womit sich ergibt.

Diese Gleichung besitzt mit offensichtlich zwei Lösungen, weshalb diese System zwei Ruhelagen besitzt. Die erste Ruhelage ist trivial, da in diesem Fall kein Strom an der Induktivität anliegt und das System ausgeschaltet ist. In der zweiten erhaltenen Ruhelage hingegen ist das System eingeschaltet, womit auch eine magentische Kraft auf die Kugel ausgeübt wird und diese angehoben wird.

Als Ruhelage für ergibt sich in diesem Fall

Die Kugel schwebt also in der erhaltenen Position , welche von der angelegten Spannung abhängig ist.

Lösung:

  2. Das System ist nichtlinear