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Aufgabenstellung:

Abbildung 1.1 zeigt den Ankerkreis einer fremderregten Gleichstrommaschine mit variabler Ankerspannung . Der Erregerfluss der Maschine wird als konstant angenommen. Für die an der Maschine induzierte Spannung und das induzierte Moment gilt:

Dabei stellen und maschinenspezifische Konstanten dar, ist der Ankerstrom und stellt die Winkelgeschwindigkeit dar.

Abbildung

Abb. 1.1: Ersatzschaltbild des Gleichstrommotors.

Abbildung

Abb. 1.2: Seilzug.

Die Gleichstrommaschine treibt den in Abbildung dargestellten Seilzug an, der eine angehängte Masse heben soll. Die Position der Masse des Hubvorgangs kann im Weiteren als Messgröße angesehen werden. Für das an der Winde herrschende Moment, mit Berücksichtigung des Trägheitsmoments des gesamten Systems, gilt nach Drehimpluserhaltungsatz

Neben der auf die Masse wirkenden Gewichtskraft wirke der rotatorischen Bewegung das nichtlineare Reibmoment entgegen, das vereinfacht durch

beschrieben wird. Es wird angenommen, dass das Seil dehnungsfrei ist und seine Dynamik vernachlässigt werden kann.

 

Hinweis: Für den skalaren Fall gilt, dass das Drehmoment das Produkt aus Kraft und Hebelarm ist.


a) Wählen Sie geeignete Eingangs-, Zustands- und Augangsgrößen und stellen Sie das mathematische Modell des Gesamtsystems in der Form

auf.

b) Welche stationäre Eingangsgröße ergibt sich in der Ruhelage des Systems?
c) Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt aus (b) und stellen Sie es wie folgt dar:

Lösungsweg:

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a) Aufstellen des mathematischen Modells

Eingangsgröße:

Ausgangsgröße:

Die Regelstrecke besteht aus einem elektrischen Teilsystem (Gleichstrommaschine) und einem mechanischen Teilsystem (Seilwinde).

Für das elektrische System gilt nach dem Ersatzschaltbild (Abbildung 1.1) mittels der Maschengleichung

Die Bewegungsgleichung für das mechanische Teilsystem kann direkt aus dem Drehimpulserhaltungssatz hergeleitet werden:

Die Zeitabhängigkeit der Seillänge erhält man durch Differenziation der gegebenen Gleichung

Aus den obigen Gleichungen kann man eine Wahl für die Zustandsgrößen treffen, z.B.

Da als Ausgang gilt, kann somit Verlauf der Ausgangsgröße vollständig aus dem Eingang und den Zuständen bestimmt werden.

Zusammenfassend erhält man die Systembeschreibung mittels der Zustandsdarstellung

b) 

In der Ruhelage gilt, dass keine Zustandsänderung erfolgt, d.h.

Somit gilt das folgende Gleichungssystem

Bemerkung:

Physikalisch gilt, dass mit der maximalen Länge des Seiles. Dies wird in der Modellannahme jedoch an dieser Stelle vernachlässigt, da es zu einem komplexeren Modell führen würde.

Es ergibt sich die eindeutige Lösung 

c) Linearisierung

Nach Einführung der Variablen ist die Linearisierung wie folgt gegeben:

Lösung: