Extrema (mehrdimensional)

Um die Eigenwerte, Eigenvektoren oder Eigenräume einer Matrix zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Die Eigenwerte und Vektoren brauchst du z.B. um eine Matrix zu diagonalisieren.

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Anwendungen der partiellen Ableitung:

• Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
• Gradientenberechnung
• Talorreihen
• Ableitungen von impliziten Funktionen

Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Hesse-Matrix besonders häufig von Bedeutung, wenn es darum geht, Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen zu bestimmen. Sie enthält alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wenn diese partiellen Ableitungen nun auch noch stetig sind, dann nennt man die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. 

Man schreibt für eine Funktion die Hesse-Matrix: . Dabei ist die Menge der Veränderlichen, von denen abhängt.
Für eine Funktion mit zwei Variablen sieht die Hesse-Matrix im Allgemeinen so aus:

mit (zweimalige Ableitung von nach ) 
und ( zuerst nach , dann nach abgeleitet)
Analog funktioniert das bei einer Funktion drei Veränderlicher (und so weiter)

Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge der Ableitung im Normalfall keine Rolle, es gilt also:
und

Somit ist die Hesse-Matrix meistens eine symmetrische Matrix.
Eine wichtige Anwendung hat die Hesse-Matrix bei der Bestimmung der Art von Extremstellen.

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht. 

Ganz mathematisch lautet der Satz so: 

Sei in einer Umgebung des Punktes stetig. Außerdem sollen die partiellen Ableitungen und in existieren und in stetig sein.

Der Satz von Schwarz besagt jetzt, dass unter diesen Bedingungen auch die partielle Ableitung in existiert und es gilt:

( und  sind hier einfach beliebige Variablen, von denen die Funktion abhängt.)

Beispielsweise gilt also für die Funktionen und

wenn die Bedingungen erfüllt sind. 

Die Definitheit ist eine Eigenschaft, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Definitheit einer Matrix zu kennen, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik oft sehr wichtig. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben im mehrdimensionalen Raum. Falls z.B. die Hesse-Matrix einer Funktion an einem kritischen Punkt positiv definit ist, so weisst du das in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt.

Kategorisierung:

Bei der Frage nach der Definitheit werden insgesamt 5 Arten unterschieden, die formal über die folgende Definition festegelegt sind:

Bestimmen der Definitheit:

Um die Definitheit einer Matrix zu bestimmen gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Die beiden bekanntesten sind das Hauptminorantenkriterium und die Eigenwertmethode. Bei ersterem erfolgt die Berechnung über die Hauptminoren der Matrix und bei der Eigenwertmethode über die Bestimmung der Eigenwerte.

Die Entscheidung, welches Verfahren sich im einzelnen anbietet liegt daran, ob du nur Informationen über positiv/negativ Definitheit suchst oder auch über semidefinit und indefinit. Merke dir hierfür:

Das Bestimmen von Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert ganz ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen. Du musst zunächst die kritischen Stellen finden, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst. Dann kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art der gefundenen Extrema bestimmen.

Ist positiv oder negativ semidefinit, lässt sich erstmal keine genauere Aussage über die Art der Extremstelle treffen, du musst also die Umgebung des kritischen Punktes betrachten.

Spezialfall:

Falls die Hesse-Matrix am kritischen Punkt der Null-Matrix entspricht, musst du die dritten partiellen Ableitungen der Funktion bilden. Falls nur eine dieser Ableitungen am kritischen Punkt ungleich Null ist, befindet sich dort ein Sattelpunkt, ansonsten lässt sich keine Aussage treffen.

Das Hauptminorenkriterium (Hurwitzkriterium, Kriterium von Sylvester) dient der Untersuchung darüber, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist. Eine Aussage über die semidefinitheit kann nicht getroffen werden (hierfür brauchst du die Eigenwertmethode).

Die Berechnung erfolgt über die Untersuchung der Hauptdeterminanten (Hauptminoren) der vorliegenden Matrix, mit dem folgenden Schema:

Um eine Aussage über die Definitheit einer Matrix zu machen, können ihre Eigenwerte genutzt werden. Anders als im Falle des Hauptminorantenkriteriums bringt dies den Vorteil zusätzlich Aussagen über Semidefinitheit und Indifinitheit zu treffen.

Die Anwendung der Methode funktioniert wie folgt:

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:

An welchen Stellen besitzt lokale oder globale Extremstellen (bzw. Sattelpunkte)? 

Unterscheide

Berechne die Extremwerte.

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:

An welchen Stellen besitzt mit lokale oder globale Extremstellen (bzw. Sattelpunkte)?

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion :