Stetigkeit (mehrdimensional)

Partielle Ableitungen (Gradient)

Produktregel

Kettenregel

Ableitungsregeln (Übersicht)

Partielle Ableitungen

Der Gradient

Existenz von partiellen Ableitungen

Satz von Schwarz

Richtungsableitung

Existenz der Richtungsableitung

Skalarprodukt

Rechnen mit Vektoren

Multiindex-Notation

Differenzierbarkeit (total, partiell, Richtung)

Totale Differenzierbarkeit

Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

Jacobi-Matrix

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix

Extrema (mehrdimensional)

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

Definitheit von Matrizen

Mehrdimensionale Extremstellen

Hauptminorantenkriterium

Definitheitsbestimmung über Eigenwertmethode

Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Gleichungssysteme lösen

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>$f$ besitzt ein Minimum im Punkt $P(1,-3)$</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt ein Minimum im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="P(1,-3)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.488ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3751.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1140,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1640,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2862.7,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3362.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<div class="step">
<div>Finde die kritischen Stellen:</div>
</div>


<div>
<div>
<div class="step">
<div>Bestimme die Nullstellen des Gradienten:</div>
</div>
</div>
</div>


<div class="step">
<div>\[\begin{aligned}</div>
</div>
<p>f_{x} &amp;=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}+x y+x+5 y\right) \\\\</p>
<p>&amp;=2 x+0+y+1+0 \\\\</p>
<p>&amp;=2 x+y+1</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f_{y} &amp;=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}+y^{2}+x y+x+5 y\right) \\\\</p>
<p>&amp;=0+2 y+x+0+5 \\\\</p>
<p>&amp;=2 y+x+5</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<div>
<div class="step">
<div>Setze die Einträge des Gradienten gleich Null und löse das Gleichungssystem:</div>
</div>
</div>


<p>\[\begin{align*} \quad</p>
<p> \ \ 2 x+y+1&amp;=0 \\</p>
<p>y &amp;=-2 x-1 \\</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{aligned} </p>
<p>2 y+x+5 &amp;=0 \\</p>
<p>\quad 2(-2 x-1)+x+5 &amp;=0 \\</p>
<p>-4 x-2+x+5 &amp;=0 \\</p>
<p>-3 x+3 &amp;=0 \\</p>
<p>-3 x &amp;=-3 \\</p>
<p>x &amp;=1</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{align*} y&amp;=-2 x-1 \\ \quad</p>
<p>\Rightarrow y&amp;=-3 \end{align*}\]</p>


<p>Die kritische Stelle ist $P(1,-3)$</p>


<p>Die kritische Stelle ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="P(1,-3)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.488ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3751.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1140,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1640,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2862.7,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3362.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Bestimme die Hesse-Matrix und setze die kritische Stelle ein:</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f_{x x} &amp;=\frac{\partial}{\partial x} f_{x} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\partial}{\partial x}(2 x+y+1) \\\\</p>
<p>&amp;=2+0+0=2 \\</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f_{y x}=f_{x y} &amp;=\frac{\partial}{\partial y} f_{x} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\partial}{\partial y}(2 x+y+1) \\\\</p>
<p>&amp;=0+1+0 =1\\</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f_{y y} &amp;=\frac{\partial}{\partial y} f_{y} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\partial}{\partial y}(2 y+x+5) \\\\</p>
<p>&amp;=2+0+0=2 \\</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{align*}\Rightarrow H_{f}(1,-3)=\left(\begin{array}{ll}</p>
<p>2 &amp; 1 \\</p>
<p>1 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}\]</p>


<p>Bestimme die Definitheit dieser Matrix:</p>


<p>Benutze das Kriterium von Sylvester (Determinanten der Teilmatrizen).</p>
<p>Die erste Determinante kann einfach abgelesen werden (Eintrag $a_{11}$ der Matrix)</p>


<p>Benutze das Kriterium von Sylvester (Determinanten der Teilmatrizen).</p>
<p>Die erste Determinante kann einfach abgelesen werden (Eintrag <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_{11}" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.984ex" height="1.337ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1319.1 591" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-26-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-26-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-31"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-31" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> der Matrix)</p>


<p>\[\begin{align*}\operatorname{det} H_{1}=2&gt;0\end{align*}\]</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}\operatorname{det} H_{1}=2>0\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.684ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6490.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 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<p>Die zweite Determinante wird berechnet mit $a d-b c$:</p>


<p>Die zweite Determinante wird berechnet mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a d-b c" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.089ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3133.4 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-28-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-28-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-28-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-28-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1271.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-28-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2271.4,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2700.4,0)"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


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xlink:href="#MJX-29-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3056,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3833.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4889.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5667.3,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6723.1,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Beide Determinanten sind größer Null. Somit ist die Hesse-Matrix positiv definit.</p>


<p>Daraus ergibt sich folgendes Extremum:</p>


<p>Minimum im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="P(1,-3)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.488ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3751.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1140,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1640,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2862.7,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3362.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:</p>
<p>\[</p>
<p>f(x, y)=x^{2}+y^{2}+x y+x+5 y</p>
<p>\]</p>

<p>Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+x y+x+5 y
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.808ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 13617.1 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-15-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Extrema (mehrdimensional) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Grundlagen - Extrema (mehrdimensional) | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix bestimmen</h2>
<ol>
<li>Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.<br /><br /></li>
<li>Schreibe sie in eine Matrix.<br />Für eine Funktion mit drei Veränderlichen $f(x, y, z)$ sieht das so aus:<br />$$H_{f}(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll}<br />f_{x x} &amp; f_{x y} &amp; f_{x z} \\<br />f_{y x} &amp; f_{y y} &amp; f_{y z} \\<br />f_{z x} &amp; f_{z y} &amp; f_{z z}<br />\end{array}\right)$$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix bestimmen</h2>
<ol>
<li>Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.<br /><br /></li>
<li>Schreibe sie in eine Matrix.<br />Für eine Funktion mit drei Veränderlichen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y, z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.471ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3744.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-886-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-886-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-886-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2890.3,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-886-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3355.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-886-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sieht das so aus:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="H_{f}(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll}
f_{x x} & f_{x y} & f_{x z} \\
f_{y x} & f_{y y} & f_{y z} \\
f_{z x} & f_{z y} & f_{z z}
\end{array}\right)" style="vertical-align: -3.886ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.753ex" height="8.902ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2217.4 13592.9 3934.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-887-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-887-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D43B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(864,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1302.9,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1691.9,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2263.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2708.6,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3198.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-887-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3643.2,0)"><use 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4705.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1422.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2381.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4705.9,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-887-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" 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</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix</h2>
<p>Die Hesse-Matrix $H_{f}(x, y)$ einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Hesse-Matrix</h2>
<p>Die Hesse-Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="H_{f}(x, y)" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.117ex" height="2.364ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3587.6 1045" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-885-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 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In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.414ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 16094.9 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-975-TEX-I-1D715" d="M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mi" transform="translate(506,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1338" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1578,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-975-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" 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<p>Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. </p>



<h2 class="content_sub_heading">Definitheit einer Matrix </h2>
<p>Sei $x \in \mathbb{R}^{n}$ ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit $x \neq 0$. Eine quadratische Matrix $A=A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt:</p>
<p> </p>
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%; height: 90px; border-color: #ffffff; border-style: none;" border="1">
<tbody>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 50%; height: 18px;"><strong>positiv definit</strong></td>
<td style="width: 50%; height: 18px;">falls $x^{T} A x&gt;0$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 50%; height: 18px;"><strong>positiv semidefinit</strong></td>
<td style="width: 50%; height: 18px;">falls $x^{T} A x \geq 0$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 50%; height: 18px;"><strong>negativ definit</strong></td>
<td style="width: 50%; height: 18px;">falls $x^{T} A x&lt;0$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 50%; height: 18px;"><strong>negativ semidefinit</strong></td>
<td style="width: 50%; height: 18px;">falls $x^{T} A x \leq 0$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 50%; height: 18px;"><strong>indefinit</strong></td>
<td style="width: 50%; height: 18px;">falls weder positiv noch negativ (semi-)definit</td>
</tr>
</tbody>
</table>


<ul>
<li>Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das <strong>Hauptminorantenkriterium</strong>.</li>
<li>Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die <strong>Eigenwertmethode</strong>.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Mehrdimensionale Extremstellen</h2>
<ol>
<li>Bestimme den Gradienten $\operatorname{grad}(f) = \nabla(f)$ von der Funktion $f$.<br /><br /></li>
<li>Setze jede Zeile des Gradienten gleich $0$ und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.<br /><br /></li>
<li>Berechne die Hesse-Matrix $H_{f}$ von $f$.<br /><br /></li>
<li>Setze deine kritischen Punkte in $H_{f}$ ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
<ul>
<li>$H_{f}$ positiv definit: Minimum</li>
<li>$H_{f}$ negativ definit: Maximum</li>
<li>$H_{f}$ indefinit: Sattelpunkt</li>
<li>$H_{f}$ positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt</li>
<li>$H_{f}$ negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt</li>
</ul>
</li>
</ol>
<p>Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:</p>
<ul>
<li>Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ($H_{f}$ negativ definit) bzw. ein globales Minimum ($H_{f}$ positiv definit).</li>
<li>Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Definitheit mittels Hauptminorantenkriterium</h2>
<ol>
<li>Bestimme alle $n$ Hauptminoren der vorliegenden Matrix. Diese erhälst du, indem du die Determinanten aller Untermatrizen berechnest, die durch sukzessives streichen der letzten Zeile und Spalte der Matrix entstehen. Also $\operatorname{det}\left(A_{1}\right)$, $\operatorname{det}\left(A_{2}\right) \ldots$<br />$\Rightarrow H_1, H_2 \ldots H_n$<br /><br /></li>
<li>Unterscheide:
<ul>
<li>Gilt für alle Hauptminoren $H_i&gt;0$, so ist die Matrix positiv definit.</li>
<li>Ist $H_1 &lt;0$ und anschließend alle weiteren Hauptminoren in ihrem Vorzeichen alternierend (abwechselnd positiv und negativ), so ist die Matrix negativ definit. <br />Kurz: Prüfe ob $H_1 &lt;0, \ H_2 &gt;0 \  \ldots$</li>
<li>Trifft keiner der beiden Fälle zu, so ist die Matrix semidefinit oder indefinit und es kann keine Aussage mit dem Hurwitzkriterium getroffen werden.</li>
</ul>
</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Eigenwertmethode (Definitheit)</h2>
<ol>
<li>Berechne alle Eigenwerte der vorliegenden symmetrischen Matrix.<br /><br /></li>
<li>Treffe eine Aussage über die Definitheit durch Untersuchung der Vorzeichen der Eigenwerte. Dabei gilt:<br /><br />
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%; height: 85px; border-color: #ffffff; border-style: none;" border="1">
<tbody>
<tr style="height: 10px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 10px;"><strong>positiv definit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 10px;">Alle Eigenwerte von $A$ sind positiv $(\lambda_i&gt;0)$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 18px;"><strong>positiv semidefinit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 18px;">Alle Eigenwerte von $A$ sind nicht negativ $(\lambda_i \geq 0)$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 18px;"><strong>negativ definit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 18px;">Alle Eigenwerte von $A$ sind negativ $(\lambda_i&lt;0)$</td>
</tr>
<tr style="height: 21px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 21px;"><strong>negativ semidefinit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 21px;">Alle Eigenwerte von $A$ sind nicht positiv $(\lambda_i \leq 0)$</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 18px;">
<p><strong>indefinit</strong></p>
</td>
<td style="width: 65.5651%; height: 18px;">Es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Eigenwertmethode (Definitheit)</h2>
<ol>
<li>Berechne alle Eigenwerte der vorliegenden symmetrischen Matrix.<br /><br /></li>
<li>Treffe eine Aussage über die Definitheit durch Untersuchung der Vorzeichen der Eigenwerte. Dabei gilt:<br /><br />
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%; height: 85px; border-color: #ffffff; border-style: none;" border="1">
<tbody>
<tr style="height: 10px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 10px;"><strong>positiv definit</strong></td>
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<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 18px;"><strong>negativ definit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 18px;">Alle Eigenwerte von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1052-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1052-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sind negativ <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\lambda_i<0)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.967ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3521.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1053-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1053-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-1053-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1053-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-1053-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1053-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1053-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-1053-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1053-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1576.7,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-1053-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2632.5,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1053-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3132.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1053-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
</tr>
<tr style="height: 21px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 21px;"><strong>negativ semidefinit</strong></td>
<td style="width: 65.5651%; height: 21px;">Alle Eigenwerte von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1054-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1054-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sind nicht positiv <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\lambda_i \leq 0)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.967ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3521.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1055-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1055-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-1055-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1055-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1055-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1055-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1055-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-1055-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1055-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1576.7,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-1055-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2632.5,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1055-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3132.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1055-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 34.4349%; height: 18px;">
<p><strong>indefinit</strong></p>
</td>
<td style="width: 65.5651%; height: 18px;">Es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: