Mehrdimensionale Extremstellen

Das Bestimmen von Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert ganz ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen. Du musst zunächst die kritischen Stellen finden, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst. Dann kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art der gefundenen Extrema bestimmen.

Vorgehen

Mehrdimensionale Extremstellen

  1. Bestimme den Gradienten von der Funktion .

  2. Setze jede Zeile des Gradienten gleich und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.

  3. Berechne die Hesse-Matrix von .

  4. Setze deine kritischen Punkte in ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
    • positiv definit: Minimum
    • negativ definit: Maximum
    • indefinit: Sattelpunkt
    • positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt
    • negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt

Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:

  • Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ( negativ definit) bzw. ein globales Minimum ( positiv definit).
  • Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.

Ist positiv oder negativ semidefinit, lässt sich erstmal keine genauere Aussage über die Art der Extremstelle treffen, du musst also die Umgebung des kritischen Punktes betrachten.

Spezialfall:

Falls die Hesse-Matrix am kritischen Punkt der Null-Matrix entspricht, musst du die dritten partiellen Ableitungen der Funktion bilden. Falls nur eine dieser Ableitungen am kritischen Punkt ungleich Null ist, befindet sich dort ein Sattelpunkt, ansonsten lässt sich keine Aussage treffen.

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