Definitions-, Stetigkeits-, Differenzierbarkeitsbereich

Theorie:

Definitionsbereich

Für die meisten x-Werte ist klar erkennbar, dass eine Funktion definiert ist. Interessant sind einzelne Problemstellen.

Definitionsbereich bestimmen

Untersuche die Funktion auf:

Polstellen: Diese entstehen i.d.R. wenn durch "0" geteilt wird, also bei Funktionen mit einem im Nenner eines Bruches. Bei der Form sind also die Nullstellen von die Definitionslücken. Wenn es für einen x-Wert zur Form kommt, existiert vermutlich ein Grenzwert, untersuche dann mit der Regel von L'Hospital. Solche Stellen werden allgemein als Definitionslücken bezeichnet.
Wurzeln: Wurzeln von negativen Werten sind in nicht definiert. Also untersuche wann Ausdrücke in Wurzeln negativ werden, diese x-Werte sind dann nicht definiert.
Logarithmen: Logarithmus-Funktionen sind nur für x-Werte > 0 definiert.

Stetigkeit

Stetigkeit bezieht sich immer auf einen Punkt . Ist eine Funktion für alle -Werte in ihrem Definitionsbereich stetig, dann heißt die Funktion stetig auf . Stetigkeit in einem Punkt wird gezeigt, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert in diesem Punkt gleich sind und mit dem Funktionswert in übereinstimmen:

Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig. Funktionen die zusammengesetzt werden aus solchen, müssen besonders untersucht werden an den Übergangsstellen.

Gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Stetigkeit prüfen

Überprüfe die Teilfunktionen auf Stetigkeit. Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig.
Was sind die kritischen "Übergangsstellen"? Existieren die Funktionswerte der betrachteten Funktion an diesen Stellen?
Zeige, dass die Grenzwerte von Rechts und Links an den kritischen Stellen übereinstimmen:

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist an der Stelle differenzierbar wenn der Differenzenquotient dieser Stelle existiert. Ist die Differenzierbarkeit gezeigt in allen Punkten, so existiert die Ableitungsfunktion und die üblichen Regeln zum Ableiten dürfen angewendet werden.

Differenzenquotient :

Dies ist gleichbedeutend mit folgendem Ausdruck:

Vorgehen

Differenzierbarkeit prüfen

Die elementaren Funktionen sind in der Regel differenzierbar. Zu untersuchen sind folgende Stellen:

Beträge: Beträge verursachen i.d.R. einen "Knick" in Funktionen an den Stellen wo der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. Dort sind sie meistens nicht differenzierbar.
Übergangsstellen: Zusammengesetzte Funktionen sind in den Übergangsstellen nur differenzierbar, wenn sie gleichmäßig in einander übergehen (selbe Steigung an Übergangsstelle).

Aufgaben:

Aufgabe 1

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich

Aufgabe 2

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

$ü ü$

Aufgabe 3

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

$ü ü$

Aufgabe 4

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

$ü ü$

Aufgabe 5

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

Aufgabe 6

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

Aufgabe 7

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich .

für und

Aufgabe 8

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

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