Monotieverhalten

Beweis Stetigkeit 

Der Definitionsbereich einer Funktion $f(x)$ ist die Menge aller $x$ Werte die in sie eingesetzt werden können und die Funktion einen endlichen Wert liefert.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist die Menge aller <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Werte die in sie eingesetzt werden können und die Funktion einen endlichen Wert liefert.

Die Stetigkeit einer Funktion ist Voraussetzung für die Anwendung vieler mathematischer Sätze. Eine Funktion ist überall dort stetig, wo sie "zusammenhängend" ist (keine Sprünge oder Lücken im Wertebereich).

Stetigkeitsbereich

Stetigkeit

Die Differenzierbarkeit einer Funktion in allen Punkten ist die Voraussetzung für die Anwendung der allgemeinen Ableitungsregeln. Der Differenzierbarkeitsbereich einer Funktion $f$ besagt also in welchem Bereich eine Ableitungsfunktion $f'$ existiert.

Differenzierbarkeit

Die Differenzierbarkeit einer Funktion in allen Punkten ist die Voraussetzung für die Anwendung der allgemeinen Ableitungsregeln. Der Differenzierbarkeitsbereich einer Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besagt also in welchem Bereich eine Ableitungsfunktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f'" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.917ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 847.5 964" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(603, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-2032"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> existiert.

Die drei Themen kommen oft zusammen vor und sollten in dieser Reihenfolge geprüft werden: Definitionsbereich, Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkeitsbereich.

Definitions-, Stetigkeits-, Differenzierbarkeitsbereich

Manche Funktionen kommen von rechts und links einer unstetigen Stelle beliebig nah, aber sind in genau dieser Stelle nicht stetig. Dann kann per Definition genau dieser Funktionswert hinzugefügt werden und die Funktion wird dadurch stetig.

Stetige Ergänzbarkeit

Stetige Ergänzung

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>\[\begin{alignat*}{2} n=1:&amp;&amp; \mathbb{D}(f)&amp;=\mathbb{R} \\ &amp;&amp; S(f) &amp;=\mathbb{R} \\&amp;&amp; \mathbb{D}\left(f^{\prime}\right) &amp;=\mathbb{R} \backslash\{0\} \\ \\ n=2:&amp;&amp; \mathbb{D}(f) &amp;=\mathbb{R} \\ &amp;&amp; S(f) &amp;=\mathbb{R} \\ &amp;&amp; \mathbb{D}\left(f^{\prime}\right) &amp;=\mathbb{R} \end{alignat*}\]</p>

<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x \cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)} &amp; {, \quad x \neq 0} \\ {0} &amp; {, \quad x=0}\end{array}\right.</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Die Funktion besitzt keine Polstellen, daher gilt:</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\mathbb{D}(f)=\mathbb{R}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Die Funktion besitzt keine Polstellen, daher gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\mathbb{D}(f)=\mathbb{R}
\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.289ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4105.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-D-1D53B" d="M16 666Q16 675 28 683H193Q329 683 364 682T430 672Q534 650 600 585T686 423Q688 406 688 352Q688 274 673 226Q641 130 565 72T381 1Q368 -1 195 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 53 35Q68 36 75 37T87 42T95 52Q98 61 98 341T95 630Q91 640 83 643T53 648Q16 648 16 666ZM237 646Q237 648 184 648H128Q128 647 133 632Q136 620 136 341Q136 64 133 50L128 35H237L230 48L226 61V343Q228 620 231 633Q232 636 237 646ZM264 61Q278 40 310 35Q363 35 401 55T461 112T496 193T513 295Q515 333 515 349Q515 411 504 459Q481 598 373 641Q351 648 321 648Q304 648 292 643T277 635T264 621V61ZM461 628Q462 627 471 616T489 594T509 559T529 509T544 441T550 352Q550 165 479 75L468 59Q474 61 484 65T522 87T573 128T618 195T650 290Q654 322 654 354Q654 418 638 464T581 552Q559 576 529 595T480 621L461 628Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-31-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-31-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D53B" xlink:href="#MJX-31-TEX-D-1D53B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1111,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1661,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2327.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3383.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-31-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Stetigkeitsbereich für $x \neq 0$:</p>


<p>Stetigkeitsbereich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \neq 0" style="vertical-align: -0.486ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="2.106ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2405.6 931" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-2260" d="M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2260" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$f$ ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und somit stetig.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-33-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und somit stetig.</p>


<p>Stetigkeitsbereich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x = 0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-34-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow 0}\left|x \cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)\right|=0</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Auch weil gilt:</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>0 \leq\left|x \cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)\right| \leq|x| \cdot 1</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Differenzierbarkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \neq 0" style="vertical-align: -0.486ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="2.106ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2405.6 931" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-2260" d="M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-38-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2260" xlink:href="#MJX-38-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-38-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$f$ ist eine Komposition differenzierbarer Funktionen, daher differenzierbar.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist eine Komposition differenzierbarer Funktionen, daher differenzierbar.</p>


<p>Differenzierbarkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x = 0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-40-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &amp;= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h \cdot \sin \left(\frac{2}{h}\right)-0}{h} \\\\ &amp;= \lim _{h \rightarrow 0} \sin \left(\frac{2}{h}\right) \end{aligned}\]</p>


<p>Dieser Grenzwert existiert nicht, da der Sinus nur zwischen $[-1,1]$ alterniert.</p>


<p>Dieser Grenzwert existiert nicht, da der Sinus nur zwischen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="[-1,1]" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.287ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2778.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-42-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(278,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1056,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1556,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2000.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2500.7,0)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-5D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> alterniert.</p>


<p>\[\mathbb{D}\left(f^{\prime}\right)=\mathbb{R} \backslash\{0\}\]</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2} \cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)} &amp; {, \quad x \neq 0} \\ {0} &amp; {, \quad x=0}\end{array}\right.</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Die Funktion besitzt keine Polstellen, daher gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\mathbb{D}(f)=\mathbb{R}
\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.289ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4105.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-47-TEX-D-1D53B" d="M16 666Q16 675 28 683H193Q329 683 364 682T430 672Q534 650 600 585T686 423Q688 406 688 352Q688 274 673 226Q641 130 565 72T381 1Q368 -1 195 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 53 35Q68 36 75 37T87 42T95 52Q98 61 98 341T95 630Q91 640 83 643T53 648Q16 648 16 666ZM237 646Q237 648 184 648H128Q128 647 133 632Q136 620 136 341Q136 64 133 50L128 35H237L230 48L226 61V343Q228 620 231 633Q232 636 237 646ZM264 61Q278 40 310 35Q363 35 401 55T461 112T496 193T513 295Q515 333 515 349Q515 411 504 459Q481 598 373 641Q351 648 321 648Q304 648 292 643T277 635T264 621V61ZM461 628Q462 627 471 616T489 594T509 559T529 509T544 441T550 352Q550 165 479 75L468 59Q474 61 484 65T522 87T573 128T618 195T650 290Q654 322 654 354Q654 418 638 464T581 552Q559 576 529 595T480 621L461 628Z"></path><path id="MJX-47-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-47-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-47-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-47-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-47-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D53B" xlink:href="#MJX-47-TEX-D-1D53B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1111,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-47-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1661,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2327.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-47-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3383.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-47-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Stetigkeitsbereich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \neq 0" style="vertical-align: -0.486ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="2.106ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2405.6 931" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-48-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-48-TEX-N-2260" d="M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z"></path><path id="MJX-48-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-48-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2260" xlink:href="#MJX-48-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-48-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-49-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und somit stetig.</p>


<p>Stetigkeitsbereich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x = 0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-50-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-50-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-50-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-50-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-50-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-50-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} &amp;= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2} \cdot \sin \left(\frac{2}{h}\right)-0}{h} \\\\</p>
<p>&amp;= \lim _{h \rightarrow 0} h \cdot \sin \left(\frac{2}{h}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=0</p>
<p>\end{align*}\]</p>
<p>Auch weil gilt:</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>0 \leq\left|x^2\cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)\right| \leq|x^2| \cdot 1</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\mathbb{D}\left(f^{\prime}\right)=\mathbb{R}\]</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich $\mathbb{D}(f),$ Stetigkeitsbereich $S(f)$ und</p>
<p>Differenzierbarkteitsbereich $\mathbb{D}\left(f^{\prime}\right)$.</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{n} \cdot \sin \left(\frac{2}{x}\right)} &amp; {, \quad x \neq 0} \\ {0} &amp; {, \quad x=0}\end{array} \right.\end{align*}\] für $n=1$ und $n=2$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Definitions-, Stetigkeits-, Differenzierbarkeitsbereich mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nöti

Definitionsbereich, Stetigkeit, Differenzierbarkeit - Definitions-, St


<h2 class="content_sub_heading">Definitionsbereich bestimmen</h2>
<p>Untersuche die Funktion auf:</p>
<ul>
<li><strong>Polstellen</strong>: Diese entstehen i.d.R. wenn durch "0" geteilt wird, also bei Funktionen mit einem $x$ im Nenner eines Bruches. Bei der Form $f(x)=\frac{u(x)}{g(x)}$ sind also die Nullstellen von $g(x)$ die Definitionslücken. Wenn es für einen x-Wert zur Form $\frac{0}{0}$ kommt, existiert vermutlich ein Grenzwert, untersuche dann mit der Regel von L'Hospital. Solche Stellen werden allgemein als Definitionslücken bezeichnet.</li>
<li><strong>Wurzeln</strong>: Wurzeln von negativen Werten sind in $\mathbb{R}$ nicht definiert. Also untersuche wann Ausdrücke in Wurzeln negativ werden, diese x-Werte sind dann nicht definiert.</li>
<li><strong>Logarithmen</strong>: Logarithmus-Funktionen sind nur für x-Werte &amp;gt; 0 definiert.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Definitionsbereich bestimmen</h2>
<p>Untersuche die Funktion auf:</p>
<ul>
<li><strong>Polstellen</strong>: Diese entstehen i.d.R. wenn durch "0" geteilt wird, also bei Funktionen mit einem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-509-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-509-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> im Nenner eines Bruches. Bei der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)=\frac{u(x)}{g(x)}" style="vertical-align: -1.238ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.386ex" height="3.607ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1047.1 5032.6 1594.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-510-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-511-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-511-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(477,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-511-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-511-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1438,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-511-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> die Definitionslücken. Wenn es für einen x-Wert zur Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{0}{0}" style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1225.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-512-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-512-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-512-TEX-N-30"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> kommt, existiert vermutlich ein Grenzwert, untersuche dann mit der Regel von L'Hospital. Solche Stellen werden allgemein als Definitionslücken bezeichnet.</li>
<li><strong>Wurzeln</strong>: Wurzeln von negativen Werten sind in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-513-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-513-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nicht definiert. Also untersuche wann Ausdrücke in Wurzeln negativ werden, diese x-Werte sind dann nicht definiert.</li>
<li><strong>Logarithmen</strong>: Logarithmus-Funktionen sind nur für x-Werte &amp;gt; 0 definiert.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Stetigkeit prüfen</h2>
<ol>
<li>Überprüfe die Teilfunktionen auf Stetigkeit. Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig.<br /><br /></li>
<li>Was sind die kritischen "Übergangsstellen"? Existieren die Funktionswerte der betrachteten Funktion an diesen Stellen?<br /><br /></li>
<li>Zeige, dass die Grenzwerte von Rechts und Links an den kritischen Stellen übereinstimmen:<br />\begin{align*}<br />\lim _{x \uparrow a} f(x)=\lim _{x \downarrow a} f(x)=f(a)<br />\end{align*}</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Stetigkeit prüfen</h2>
<ol>
<li>Überprüfe die Teilfunktionen auf Stetigkeit. Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig.<br /><br /></li>
<li>Was sind die kritischen "Übergangsstellen"? Existieren die Funktionswerte der betrachteten Funktion an diesen Stellen?<br /><br /></li>
<li>Zeige, dass die Grenzwerte von Rechts und Links an den kritischen Stellen übereinstimmen:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\lim _{x \uparrow a} f(x)=\lim _{x \downarrow a} f(x)=f(a)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.295ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.872ex" height="3.722ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1072.5 11435.4 1644.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-514-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-514-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-514-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-514-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-514-TEX-N-2191" d="M27 414Q17 414 17 433Q17 437 17 439T17 444T19 447T20 450T22 452T26 453T30 454T36 456Q80 467 120 494T180 549Q227 607 238 678Q240 694 251 694Q259 694 261 684Q261 677 265 659T284 608T320 549Q340 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431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-514-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-514-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 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</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Differenzierbarkeit prüfen</h2>
<p>Die elementaren Funktionen sind in der Regel differenzierbar. Zu untersuchen sind folgende Stellen:</p>
<ul>
<li><strong>Beträge</strong>: Beträge verursachen i.d.R. einen "Knick" in Funktionen an den Stellen wo der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. Dort sind sie meistens nicht differenzierbar.<br /><br /></li>
<li><strong>Übergangsstellen</strong>: Zusammengesetzte Funktionen sind in den Übergangsstellen nur differenzierbar, wenn sie gleichmäßig in einander übergehen (selbe Steigung an Übergangsstelle).</li>
</ul>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: