Reimann-Summen

Funktionsfolgen

Geraden und Ebenen

quadratische ergänzung

Taylorreihen

Test

Kurvenintegral

Regel von L´Hospital

Taylorpolynome

Gamma Funktion

Funktionenfolgen

Bewegungsarten

Monotonie

Permutation

Funktionen

<p>Dieses Thema vermittelt wichtige Techniken und Werkzeuge die du sp&auml;ter als Voraussetzung in komplexeren Themen brauchst.</p>

Grundlagen

Die grundlegendsten Objekte in der Mathematik sind Mengen. Der Umgang mit Mengendefinitionen und verschiedenen Mengenoperationen gilt als Grundlage für viele weitere Teilgebiete der Mathematik.

Mengen und Zahlen

Zahlenmengen

Die Zuordnung von Elementen in einer Menge auf die Elemente einer anderen Menge, wird als Abbildung (oder Funktion) bezeichnet. 
Beispiel: Die Funktion $\ f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}$ bildet von dem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ auf den Wertebereich $\mathbb{W}$ ab.

Abbildungen

Die Zuordnung von Elementen in einer Menge auf die Elemente einer anderen Menge, wird als Abbildung (oder Funktion) bezeichnet. 
Beispiel: Die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.111ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 4911.1 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 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Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der $x$-Achse, also alle Werte für die gilt $f(x)=0$. 
Nullstellen bestimmen zu können ist essenziell, um viel Fragestellungen rund um Gleichungen und Funktionen beantworten zu können. Unter anderem zählen hierzu die Bestimmung von Extremwerten, Wendestellen und Schnittpunkten.

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-24-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-24-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Achse, also alle Werte für die gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.447ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3733.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-25-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-25-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3233.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. 
Nullstellen bestimmen zu können ist essenziell, um viel Fragestellungen rund um Gleichungen und Funktionen beantworten zu können. Unter anderem zählen hierzu die Bestimmung von Extremwerten, Wendestellen und Schnittpunkten.

Nullstellenprobleme lösen

Als Lösungsmenge bezeichnet man alle möglichen Werte für eine Variable, die eine bestimmte Gleichung oder Ungleichung erfüllen.

Lösungsmengen bestimmen

Beträge auflösen

Mithilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, lassen sich viele Aussagen  über natürliche Zahlen $A(n)$ beweisen.
Häufig kommt sie zum Einsatz, wenn ein direkter Beweis der Aussage nur schwer (oder gar nicht) durchführbar ist.

Vollständige Induktion

Mithilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, lassen sich viele Aussagen  über natürliche Zahlen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-26-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-26-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-26-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-26-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-26-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139, 0)"><use xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739, 0)"><use xlink:href="#MJX-26-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> beweisen.
Häufig kommt sie zum Einsatz, wenn ein direkter Beweis der Aussage nur schwer (oder gar nicht) durchführbar ist.

Komplexe Zahlen setzen sich aus zwei Teilen (Realteil und Imaginärteil) zusammen und werden in einer "komplexen" Zahlenebene $\mathbb{C}$ dargestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Gleichungen lösen, die in $\mathbb{R}$ nicht gelöst werden können. Z. B.: $x^2=-1$
Anwendung finden die komplexen Zahlen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, wo sie das rechnen erheblich vereinfachen.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen setzen sich aus zwei Teilen (Realteil und Imaginärteil) zusammen und werden in einer "komplexen" Zahlenebene <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{C}" style="vertical-align: -0.043ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.631ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 722 721" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-27-TEX-D-2102"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> dargestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Gleichungen lösen, die in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-28-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nicht gelöst werden können. Z. B.: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x^2=-1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.116ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3587.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3087.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>
Anwendung finden die komplexen Zahlen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, wo sie das rechnen erheblich vereinfachen.

Grundlagen der Komplexen Zahlen

Eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\right)$ ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ in den reellen bzw. komplexen Zahlen $(\mathbb{R}, \mathbb{Z})$ einen Wert zuordnet. In diesem Thema werden vor allem die Grenzwerte unterschiedlicher Folgen untersucht.

Folgen - Grenzwerte (Konvergenz)

Eine Zahlenfolge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\right)" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.731ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10930.9 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 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In diesem Thema werden vor allem die Grenzwerte unterschiedlicher Folgen untersucht.

Grenzwert (Konvergenz) von Folgen

Tipps zur Grenzwertberechnung

Definition von Folgen

Explizite und rekursive Bildungsgesetze

Beispiele und Eigenschaften von Folgen

Definition Grenzwert

Konvergenz und Divergenz beweisen

Unbeschränkte Folgen divergieren

Grenzwertsätze

Monotoniekriterium

Teilfolgen

Häufungspunkte von Folgen

Satz von Bolzano-Weierstraß

Bestimmte Divergenz

Lim sup und Lim inf

Cauchy-Folgen

Anschaulich kann man eine Reihe als eine Summe mit unendlich vielen Summanden betrachten. Also kurz eine Summe bei der bis unendlich addiert wird wie z. B: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 
Hier werden solche Reihen auf ihre Konvergenz/Divergenz untersucht und ggf. ihr Wert bestimmt.

Reihen untersuchen 

Anschaulich kann man eine Reihe als eine Summe mit unendlich vielen Summanden betrachten. Also kurz eine Summe bei der bis unendlich addiert wird wie z. B: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.438ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3729.5 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-33-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-33-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1056, 477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1056, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2600.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(387.7, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><rect width="888.9" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> 
Hier werden solche Reihen auf ihre Konvergenz/Divergenz untersucht und ggf. ihr Wert bestimmt.

Reihe, Konvergenz und Auswahl des Kriteriums

Begriff der Reihe

Rechenregeln für Reihen

Harmonische Reihe

Absolute Konvergenz einer Reihe

Umordnungssatz für Reihen

Trivialkriterium

Anwendung der Konvergenzkriterien

Funktionen ableiten (differenzieren) zu können ist eine der wichtigsten Grundlagen in der Mathematik und bildet die Ausgangslage für fast alle Funktionsuntersuchungen. Hier lernst du die wichtigsten Regeln um Ableitungen von Funktionen zu berechnen!

Differenzieren (Ableiten)

Wichtige Funktionen und ihre Ableitung

Die Definitionsbereiche, die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit von einer Funktion hängen eng zusammen. Dass eine Funktion an einer Stelle $a$ definiert ist, ist z.B. die Voraussetzung für Stetigkeit in dieser Stelle $a$. Ebenso ist Stetigkeit in $a$ Voraussetzung für die Differenzierbarkeit in $a$.

Definitionsbereich, Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Die Definitionsbereiche, die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit von einer Funktion hängen eng zusammen. Dass eine Funktion an einer Stelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-34-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> definiert ist, ist z.B. die Voraussetzung für Stetigkeit in dieser Stelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Ebenso ist Stetigkeit in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-36-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-36-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Voraussetzung für die Differenzierbarkeit in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-37-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.

Mathematische Sätze bilden die Grundlage für viele weitere Berechnungen und Beweise . Die Anwendung der wichtigsten Sätze lernst du hier.

Anwendung wichtiger Sätze

Umkehrfunktionen zu berechnen kann dir bei vielen technischen Fragestellungen helfen. Wenn du z.B. eine Funktion hast die dir den Druck in Abhängigkeit der Temperatur liefert, so könntest du mit der Umkehrfunktion die Temperatur bei einem vorgegebenen Druck ermitteln.

Umkehrfunktionen

Funktionen können auf unterschiedliche geometrische Eigenschaften hin untersucht werden. Wichtig ist es hierbei markante Punkte/Bereiche bestimmen und  interpretieren zu können.

Funktionsuntersuchung, Kurvendiskussion

Ableitungsregeln (Übersicht)

Anwendung der Differentialrechnung

Eine unendliche Reihe der Form $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ wird als Potenzreihe bezeichnet.

Potenzreihen

Eine unendliche Reihe der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}" style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.254ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 7626.1 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-38-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 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transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3159, 0)"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(3548, 477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-38-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> wird als Potenzreihe bezeichnet.

Potenzreihen und Konvergenzradius

Durch Integrieren der Funktion $f(x)$ erhälst du die Stammfunktion $F(x)$. Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.

Integrieren

Durch Integrieren der Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-39-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-39-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-39-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erhälst du die Stammfunktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.749ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2099 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-40-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(749, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1138, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1710, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.

Integrationsregeln (Überblick)

Grundintegrale

Durch Funktionen lassen sich unterschiedlichste Flächen beschreiben. Hier übst du wie du diese Flächen berechnest, indem du dir die Integralrechnung zu nutze machst.

Anwendung der Integralrechnung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Gruppen

lineare abbildung 

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Differenzieren (Ableiten)

Wichtige Funktionen und ihre Ableitung | Theorie Zusammenfassung

<p>\begin{array}{l|l}</p>
<p>f(x) &amp; f^{\prime}(x) \\</p>
<p>\hline</p>
<p>\hline</p>
<p>\hline e^{x} &amp; e^{x} \\</p>
<p>\hline \sin(x) &amp; \cos (x) \\</p>
<p>\hline \cos(x) &amp; -\sin (x) \\</p>
<p>\hline \tan(x) &amp; 1+\tan ^{2}(x) \\</p>
<p>\hline \ln(x) &amp; \frac{1}{x} \\</p>
<p>\hline x^{x} &amp; \ln a \cdot a^{x} \\</p>
<p>\end{array}</p>

Mathematik

Wichtige Funktionen und ihre Ableitung

Verlinkte Themen

Kettenregel

Lokale und global Extrema

Regel von L`Hospital

Produktregel

Wendepunkte bestimmen

Taylorpolynome

Quotientenregel

Konvexität und Konkavität

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Ableitungen

Gemischte Regeln

Taylorreihe

Differenzieren (Ableiten)

Funktionsuntersuchung, Kurvendiskussion

Anwendung der Differentialrechnung