Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Theorie:

Taylorpolynom

Vorgehen

Taylorpolynom

  1. Stelle das gesuchte Taylorpolynom auf, indem du die einzelnen Sumanden ausschreibst. Dabei bezeichnet die Ordnung und den Entwicklungspunkt.
    Ob du die Schreibweise oder benutzt spielt keine Rolle.
  2. Bestimme die ersten Ableitungen von .
  3. Berechne den Wert der Ableitungen an der Stelle .
  4. Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein und vereinfache den Ausdruck.

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Eine mal stetig differenzierbare Funktion kannst du durch ihr Taylorpolynom und einen Fehler beschreiben:

Um diesen Fehler mit dem Restglied von Lagrange abzuschätzen, gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Fehlerabschätzung mit Lagrange

  1. Bestimme die -te Ableitung von .

  2. Stelle das Restglied von Lagrange auf:

    Oft wird anstelle von auch verwendet.

  3. Bestimme die maximalen Bereiche für und mit und (Abschätzung für folgt meist aus der Aufgabenstellung).

  4. Bilde und schätze, durch Einsetzen der maximalen Werte von und , nach oben ab.

  5. Vereinfache, falls nötig, oder rechne einen konkreten Wert aus.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 3. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich ab.

Aufgabe 2

Approximiere die Funktion durch ein quadratisches Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt . Gib anschließend das zugehörige Restglied an.

Aufgabe 3

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich mit ab.

Aufgabe 4

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich mit ab.

Aufgabe 5

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 4. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich ab.

Aufgabe 6

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich ab.

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