Taylorreihe

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Theorie:

Vollständige Induktion

1) Induktionsanfang (IA):

Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage gilt. Starte bei und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.

2) Induktionsvoraussetzung (IV):

Schreibe auf: "Es gibt ein für das die Aussage gilt."

3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):

Formuliere . Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage gilt.

4) Schlusssatz:

Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."

Hinweis

Tipps zum Induktionsschluss:

Summen

Spalte immer zunächst das letzte Summenglied ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können.

Teilbarkeit

Nutze aus, dass jedes Produkt immer als ganzes teilbar ist, solange ein Faktor teilbar ist.

ist durch 6 teilbar!

Nutze ggf. die Methode der konstruktiven Null (blau), um deine I.V. zu erhalten. Es kann Helfen erst die I.V. aufzuschreiben und dann Terme zu ergänzen bis die Gleichung wieder stimmt.

Ableitungen

Falls von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe zunächst , leite ab und setze anschließend die Induktionsvoraussetzung ein.

Falls nicht von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe , setze sofort die Induktionsvoraussetzung ein und leite anschließend ab.

Taylorpolynom

Vorgehen

Taylorpolynom

Stelle das gesuchte Taylorpolynom auf, indem du die einzelnen Sumanden ausschreibst. Dabei bezeichnet die Ordnung und den Entwicklungspunkt.
Ob du die Schreibweise oder benutzt spielt keine Rolle.
Bestimme die ersten Ableitungen von .
Berechne den Wert der Ableitungen an der Stelle .
Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein und vereinfache den Ausdruck.

Taylorreihe

Eine Funktion, die man unendlich oft differenzieren kann, lässt sich auch als eine sogennante Taylorreihe darstellen. Dabei wird die Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe ausgedrückt. Dies nutzt man häufig um den Wert einer gegebenen Funktion an einer Stelle näherungsweise zu berechnen (approximieren). Die Taylorreihe ist also gewissermaßen ein Werkzeug, mit dem du aus komplizierten, unhandlichen Funktionen einfachere Ausdrücke machen kannst. Taylorreihen haben die Form:

Definition

Taylorreihe einer Funktion

ist dabei die Entwicklungsstelle

Vorgehen

Taylorreihe bestimmen

Berechne die ersten Ableitungen der Funktion , bis du ein Muster erkennst.
Schreibe eine allgemeine Bildungsvorschrift für die -te Ableitung von auf:
Beweise deine gefundene Bildungsvorschrift mittels vollständiger Induktion.
Setze den Entwicklungspunkt und die Bildungsvorschrift in die allgemeine Formel für die Taylorreihe ein und vereinfache:

Formel

Bei Aufgaben mit z.B. ist es nicht trivial eine allgemeine Formel für die -te Ableitung zu finden. Es hilft dann oft die ersten Glieder eines passenden Taylorpolynoms (ausgewertet an der Stelle ) aufzuschreiben und anschließend eine passende Bildungsvorschrift für die Taylorreihe abzuleiten.

Abgrenzung zum Taylorpolynom

Den Zusammenhang zwischen Taylorreihe und Taylorpolynomen erkennt man am besten wenn man die Taylorreihe Gliedweise aufschreibt. Dabei wird jedes Glied als ein Taylorpolynom bezeichnet:

Hierbei kann man sich merken, dass die Genauigkeit mit jedem hinzugefügten Taylorpolynom zunimmt. Das bedeutet, dass je höher der Grad einer Taylorreihe ist, desto genauer stimmt sie mit der vorgegebenen Ausgangsfunktion überein. Aus diesem Grund ist die Taylorreihe (siehe oben) auch eine exakte Darstellung der Funktion, da sie aus "unendlich" vielen Taylorpolynomen besteht und daher auch unendlich genau ist.

Hinweis

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlichster Ordnung.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Berechne die Taylorreihe für um den Entwicklungspunkt .