Richtungsableitung

Theorie:

Richtungsableitung

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Richtungsableitung einer Funktion die sogenannte momentane Änderungsrate eben dieser Funktion in einer bestimmten Richtung. Diese Richtung wird dabei durch einen Vektor vorgegeben (da wir es ja mit mehrdimensionalen Räumen zu tun haben), welcher normiert sein muss, also die Länge hat.

Definition

Richtungsableitung

Mithilfe der Richtungsableitung kannst du feststellen, wie sich die Funktionswerte einer bestimmten Stelle verändern, wenn man von dort in eine bestimmte Richtung geht.

Deswegen brauchst du zur Berechnung der Richtungsableitung
eine Funktion ,
eine Stelle
und einen Vektor , der die Richtung angibt.
Es ist wichtig, dass der Vektor normiert ist, also die Länge 1 hat.

Falls du all diese Dinge gegeben hast, kannst du folgendermaßen vorgehen, um die Richtungsableitung zu berechnen:

Das " " steht hier für das Skalarprodukt.

Vorgehen

Richtungsableitung bestimmen

Bestimme den Gradienten der Funktion.
Berechne seine Werte an der Stelle , das heißt setze die Werte von $A$ in jede partielle Ableitung ein.
Normiere den Vektor , das bedeutet, bringe ihn auf die Länge 1. Das geht so:

Hierbei ist der Betrag des Vektors .
Berechne das Skalarprodukt des Gradienten an der Stelle mit dem normierten Vektor .

Existenz der Richtungsableitung

Die Existenz der Richtungsableitung kannst du ganz ähnlich zeigen, wie die Existenz der partiellen Ableitungen. Du ersetzt dort nur dein Einheitsvektor mit dem Richtungsvektor .

Vorgehen

Existenz der Richtungsableitung zeigen

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt in Richtung von existiert, wenn der folgende Grenzwert existiert:

Hinweis

Die Existenz der Richtungsableitung kannst du also ganz ähnlich zeigen, wie die Existenz der partiellen Ableitungen. Du ersetzt dort nur dein Einheitsvektor mit dem Richtungsvektor .

Multiindex-Notation

Multivariate (mehrdimensionale) Funktionen können mit der Mulitiindex-Notation geschrieben werden. (Allerdings macht es das Ganze nicht unbedingt übersichtlicher.)

Definition