Untervektorraum prüfen

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Untervektorraum

Um herauszufinden, ob eine Teilmenge eines Vektorraums ein Untervektorraum ist, musst du drei Bedingungen prüfen:

Vorgehen

Untervektorraum prüfen

  1. Prüfe als erstes, ob der Nullvektor (bzw. Nullelement) in enthalten ist.


  2. Prüfe ob die Summe, zweier in enthaltener Vektoren, wiederum in liegt.
    Oft hilft es hierfür zwei allgemeine Vektoren einzuführen, diese zu addieren und anschließend zu prüfen, ob das Ergebnis in enthalten ist.
    Für gilt

  3. Prüfe ob ein beliebiges Vielfaches, der Elemente aus , wieder in der Menge liegt.
    Es kann helfen hierfür einen allgemeinen Vektor und ein Skalar einzuführen und zu prüfen ob in enthalten ist.
    Für und gilt ?
Hinweis

Hinweis: Falls die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist, so ist sofort ein Untervektorraum.



Aufgaben:

Aufgabe 1

Ist die Menge ein Untervektorraum von ?

Aufgabe 2

Sei 𝕟 der Vektorraum der Polynome mit Grad . Prüfe ob die Menge ein Untervektorraum von ist.

Aufgabe 3

Sei der Vektorraum der Polynome. Prüfe ob die Menge ein Untervektorraum von ist.

Aufgabe 4

Sei der Vektorraum der Polynome vom Grad . Prüfe ob die Menge ein Untervektorraum von ist.

Aufgabe 5

Ist die Menge ein Untervektorraum des ?

Aufgabe 6

Es seien zwei Untervektorräume des Vektorraums (über ).

Zeige:

a) ist ein Untervektorraum von .

b) ist im Allgemeinen kein Untervektorraum von .

Aufgabe 7

Ist die Menge ein Untervektorraum von ?

Aufgabe 8

Untersuche, ob es sich bei der Menge um einen Untervektorraum des handelt.

Aufgabe 9

Untersuche, ob es sich bei der Menge um einen Untervektorraum des handelt.

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