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Aufgabenstellung:

Untersuche, ob es sich bei der Menge um einen Untervektorraum des handelt.

Lösungsweg:

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1. Ist das Nullelement von in enthalten?

Das Nullelement von ist der Nullvektor . Prüfe durch Einsetzen, ob dieses Element die Ungleichung in der Menge erfüllt.

Für folgt:

Da die Ungleichungen erfüllt ist, ist der Nullvektor in der gegebenen Menge enthalten

2. Prüfe, ob die Summe von zwei Vektoren aus wieder in liegt:

Da die Ungleichung durch 2 beschränkt ist, liegt die Vermutung nah, dass es Vektoren gibt, die die Ungleichung verletzen.

Wähle zum Beispiel die Vektoren und .

Zeige zunächst das beide Vektoren in der Menge enthalten sind, indem du sie jeweils in die Ungleichung einsetzt.

Für gilt:

Für gilt:

Damit sind und also Elemente der Menge!

Zeige nun, dass die Ungleichung für verletzt ist:

Somit ist das Element nicht in der Menge enthalten und ist kein Untervektorraum von .

Lösung:

ist kein Untervektorraum von , da z.B. die Summe der beiden (in der Menge enthaltenen) Vektoren und kein Element von sind.

Hinweis

Hinweis: Falls die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist, so ist sofort ein Untervektorraum.

Vorgehen

Untervektorraum prüfen

  1. Prüfe als erstes, ob der Nullvektor (bzw. Nullelement) in enthalten ist.


  2. Prüfe ob die Summe, zweier in enthaltener Vektoren, wiederum in liegt.
    Oft hilft es hierfür zwei allgemeine Vektoren einzuführen, diese zu addieren und anschließend zu prüfen, ob das Ergebnis in enthalten ist.
    Für gilt

  3. Prüfe ob ein beliebiges Vielfaches, der Elemente aus , wieder in der Menge liegt.
    Es kann helfen hierfür einen allgemeinen Vektor und ein Skalar einzuführen und zu prüfen ob in enthalten ist.
    Für und gilt ?