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Aufgabenstellung:

Es seien zwei Untervektorräume des Vektorraums (über ).

Zeige:

a) ist ein Untervektorraum von .

b) ist im Allgemeinen kein Untervektorraum von .

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Zeige ist ein Untervektorraum von

Zeige

Da und ist, ist auch .

Zeige für alle

Seien

Zeige für alle und

Sei

Insgesamt ist also ein Untervektorraum von .

b) Zeige, dass im Allgemeinen kein Untervektorraum von ist, indem du ein Gegenbeispiel angibst.

Sei und

Dann sind und offensichtlich Untervektorräume von

Prüfe, ob ein Untervektorraum von sein kann.

Es sind aber Demnach ist kein Untervektorraum von .

Damit sind alle Aussagen bewiesen.

Lösung:

  1. ist ein Untervektorraum von
  2. Alle Aussagen sind bewiesen

Hinweis

Hinweis: Falls die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist, so ist sofort ein Untervektorraum.

Vorgehen

Untervektorraum prüfen

  1. Prüfe als erstes, ob der Nullvektor (bzw. Nullelement) in enthalten ist.


  2. Prüfe ob die Summe, zweier in enthaltener Vektoren, wiederum in liegt.
    Oft hilft es hierfür zwei allgemeine Vektoren einzuführen, diese zu addieren und anschließend zu prüfen, ob das Ergebnis in enthalten ist.
    Für gilt

  3. Prüfe ob ein beliebiges Vielfaches, der Elemente aus , wieder in der Menge liegt.
    Es kann helfen hierfür einen allgemeinen Vektor und ein Skalar einzuführen und zu prüfen ob in enthalten ist.
    Für und gilt ?