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Aufgabenstellung:

Approximiere die Funktion durch ein Taylorpolynom 2. Ordnung um den Entwicklungspunkt . Schätze anschließend den Fehler mit dem Restglied von Lagrange im Bereich mit ab.

Lösungsweg:

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Stelle die Formel für das gesuchte Taylorpolynom auf:

Bestimme die ersten 3 Ableitungen von :

*Die 3. Ableitung brauchst du später für die Fehlerabschätzung.*

Für die erste gilt:

Für die zweite gilt:

Für die dritte gilt:

Setze den Entwicklungspunkt in die Funktion und die ersten zwei Ableitungen ein:

Setze alles in das zu errechnenden Taylorpolynom ein:

Berechne das Restglied von Lagrange:

Stelle auf:

Mach dir klar, welche Abschätzungen für und gelten:

Da zwischen und liegt, gilt für und auch .

Bilde den Betrag und schätze ab:

Lösung:

Es gilt: