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Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

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Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange | Theorie Zusammenfassung

<p>Eine $n+1$ mal stetig differenzierbare Funktion $f$ kannst du durch ihr Taylorpolynom $T_{n, a}(x)$ und einen Fehler $R_{n, a}(x)$ beschreiben:</p>
<p>$$f(x)=T_{n, a}(x)+R_{n, a}(x)$$</p>


<p>Um diesen Fehler mit dem Restglied von Lagrange abzuschätzen, gehe wie folgt vor:</p>


<div id=5f0839d31483ee8a3987b333 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Fehlerabschätzung mit Lagrange</h2>
<ol>
<li>Bestimme die $(n+1)$-te Ableitung von $f(x)$.<br /><br /></li>
<li>Stelle das Restglied von Lagrange auf:<br />\begin{aligned} \quad R_{n, a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1} \end{aligned}<br /><em>Oft wird anstelle von $t$ auch $\xi$ verwendet.<br /><br /></em></li>
<li>Bestimme die maximalen Bereiche für $x$ und $t$ mit $|x-a| \leq c$ und $|t-a| \leq c$ (Abschätzung für $c$ folgt meist aus der Aufgabenstellung).<br /><br /></li>
<li>Bilde $\left|R_{n, a}(x)\right|$ und schätze, durch Einsetzen der maximalen Werte von $x$ und $t$, nach oben ab.<br /><br /></li>
<li>Vereinfache, falls nötig, oder rechne einen konkreten Wert aus.</li>
</ol>
</div></div>


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Fehlerabschätzung mit Lagrange

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