Stetige Ergänzbarkeit

Theorie:

Definitionsbereich

Für die meisten x-Werte ist klar erkennbar, dass eine Funktion definiert ist. Interessant sind einzelne Problemstellen.

Vorgehen

Definitionsbereich bestimmen

Untersuche die Funktion auf:

  • Polstellen: Diese entstehen i.d.R. wenn durch "0" geteilt wird, also bei Funktionen mit einem im Nenner eines Bruches. Bei der Form sind also die Nullstellen von die Definitionslücken. Wenn es für einen x-Wert zur Form kommt, existiert vermutlich ein Grenzwert, untersuche dann mit der Regel von L'Hospital. Solche Stellen werden allgemein als Definitionslücken bezeichnet.
  • Wurzeln: Wurzeln von negativen Werten sind in nicht definiert. Also untersuche wann Ausdrücke in Wurzeln negativ werden, diese x-Werte sind dann nicht definiert.
  • Logarithmen: Logarithmus-Funktionen sind nur für x-Werte > 0 definiert.

Stetigkeit

Stetigkeit bezieht sich immer auf einen Punkt . Ist eine Funktion für alle -Werte in ihrem Definitionsbereich stetig, dann heißt die Funktion stetig auf . Stetigkeit in einem Punkt wird gezeigt, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert in diesem Punkt gleich sind und mit dem Funktionswert in übereinstimmen:

Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig. Funktionen die zusammengesetzt werden aus solchen, müssen besonders untersucht werden an den Übergangsstellen.

Gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Stetigkeit prüfen

  1. Überprüfe die Teilfunktionen auf Stetigkeit. Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig.

  2. Was sind die kritischen "Übergangsstellen"? Existieren die Funktionswerte der betrachteten Funktion an diesen Stellen?

  3. Zeige, dass die Grenzwerte von Rechts und Links an den kritischen Stellen übereinstimmen:

Stetige Ergänzung

Bei der stetigen Fortsetzung wird der Grenzwert einer Unstetigkeitsstelle berechnet (sofern er existiert). Dann kann die Funktion mit diesem Grenzwert erweitert werden wodurch sie stetig in dem entsprechenden Punkt wird. Mathematisch sieht das so aus:

Sei stetig im Definitionsbereich und nicht erklärt (definiert). Dann heißt in stetig ergänzbar, wenn existiert. Damit ist die ergänzte Funktion für stetig:

üü

Gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Stetige Ergänzung

  1. Bestimme Definitionsbereich und Stetigkeitsbereich, bzw. unstetige Stellen.

  2. Prüfe ob der Grenzwert der unstetigen Stelle existiert, also ob der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert übereinstimmen.

  3. Wenn die Grenzwerte übereinstimmen ist die Funktion ergänzbar. Definiere die ergänzte Funktion wie oben.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 2

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 3

Es sei:

Gibt es unstetige Stellen an denen sich stetig ergänzen lässt?

Aufgabe 4

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion mit:

 

  1. Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und den Differenzierbarkeitsbereich der Funktion
  2. Untersuche, ob an der Stelle stetig ergänzbar ist.
  3. Falls in stetig ergänzbar ist.
    Ist die stetig ergänzte Funktion in differenzierbar?

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