Diskretisierung

Betrachtet wird das folgende System:

a) Ist das System für alle stabil? Begründen Sie Ihre Antwort!

Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile können unabhängig gelöst werden.

Das System soll jetzt diskretisiert werden. Es gilt nun .

b) Bestimmen Sie die Differenzengleichung für das System in der Form

mit der Abtastzeit sec. Approximieren Sie dabei die Differentiation mit Hilfe der Rückwärtsdifferenz.

c) Es gilt nun: Berechnen Sie für das in b) bestimmte, stabile System den statischen Endwert

Gegeben ist das dargestellte Signal .

Dieses wird mit abgetastet. Dabei ergibt sich für die Folge

Hinweis: Die Aufgabenteile a) und b) sind unabhängig voneinander lösbar

a) Bestimmen Sie und und zeichnen Sie in der Abbildung ein. 

Bei handelt es sich um die Impulsantwort einer Differenzengleichung der Form Der zeitdiskrete Impuls ist dabei als

definiert. Für ist

b) Bestimmen Sie die Koeffizienten und . 

Die Differenzengleichung wurde über Rückwärtsdifferenzen aus der Differentialgleichung des totzeitfreien System gewonnen. Die Abtastzeit ist .

c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von .

Sie stellen fest, dass die Impulsantwort von für kaum dynamische Ähnlichkeit mit hat.

d) Nennen Sie zwei wesentliche Gründe für dieses Phänomen. 

Betrachtet wird das folgende lineare Übertragungssystem:

Die Differentiation wird im Rahmen dieser Aufgabe durch die Rückwärtsdifferenz approximiert.
Das Übertragungsverhalten von auf kann zeitdiskret (Abtastzeit ) mit folgender Differenzengleichung dargestellt werden:

a) Nachfolgend sind Signalverläufe von und dargestellt. Bestimmen Sie die fehlenden Werte für und zu den Zeitpunkten und und zeichnen Sie sie in das jeweilige Diagramm. Für sind sämtliche Signale null.

Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind unabhängig von Aufgabenteil a) lösbar.

b) Bestimmen Sie die Differenzengleichung, die das zeitdiskrete Übertragungsverhalten von beschreibt, in der Form

c) Bestimmen Sie die äquivalente kontinuierliche Übertragungsfunktion in der Form

Betrachtet wird die Differenzengleichung einer stabilen Regelstrecke mit den Stellgrößenwerten , den Regelgrößenwerten und den Störgrößenwerten :

Zunächst soll die Strecke ohne Störung untersucht werden. Dazu wird die Strecke mit beaufschlagt. Es gilt für

Hinweis: Alle Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden.

a) Ermitteln Sie die Wertefolge für und tragen Sie diese in die folgende Tabelle ein.

b) Berechnen Sie den stationären Endwert .

Nun soll ein -Regler mit der Übertragungsfunktion verwendet werden.

c) Bestimmen Sie die Differenzengleichung des Reglers mit Abtastzeit in der Form

Verwenden Sie für die Approximation der Differentiation die Rückwärtsdifferenz.

d) Mit dem gegebenen -Regler arbeitet der geschlossene Regelkreis stabil. Berechnen Sie die stationären Endwerte und für einen Sprung der Störgrößenfolge .