Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

Die Jacobi-Matrix wird auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix bezeichnet. Sie ist eine Matrix, die aus allen möglichen ersten Ableitungen einer Funktion besteht. Besonders in der Integralrechnung (beispielsweise wenn es um Substitution geht) spielt die Jacobi-Matrix oft eine große Rolle. 

Wenn eine Funktion die Form:

hat (Funktion mehrerer Veränderlicher) und alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen existieren, kannst du die Jacobi-Matrix an der Stelle berechnen.

Sie sieht dann folgendermaßen aus:

Untersuche, ob die Funktion

1. im Punkt

2. im Punkt

lokal umkehrbar ist.

Benutze den Satz der inversen Funktionen, um deren Existenz für die Abbildung:

nachzuweisen. Gib die inverse Funktion explizit an.

Berechnen für

die Ableitung und die Ableitung der Verknüpfung mit sich selbst jeweils an der Stelle sowie die Ableitung der Inversen an der Stelle

Sei mit

Beweise

1. Zu jedem in gibt es eine Umgebung von sodasss injektiv ist.
2. selbst ist nicht injektiv.

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Berechne die Ableitung sowie

2. Bestimme die Menge aller Punkte, für die regulär ist, d.h. Gib ein maximales Rechteck an, so dass auf regulär ist und

3. Bestimme

4. Berechne in ohne explizit zu bestimmen.