Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Fourierreihen

Implizite Funktionen

Partielle Ableitungen

Banachscher Fixpunktsatz

Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

Jacobi-Matrix

Satz über Umkehrabbildung (mehrdimensional)

Lokaler Umkehrsatz

Taylorpolynome (mehrdimensional)

Der Gradient

Die Hesse-Matrix

Mehrdimensionale Taylorformel

Satz von Schwarz

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\begin{align*}f^{\prime}(1,1)&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />-2 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 3<br />\end{array}\right) \\</p>
<p>g^{\prime}(1,1)&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />140 &amp; 20 \\<br />150 &amp; 105<br />\end{array}\right) \\</p>
<p>h^{\prime}(1,3)&amp;=\frac{1}{30}\left(\begin{array}{cc}<br />-3 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 2<br />\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme die Ableitung (Jakobi-Matrix):</p>


<p>\begin{align*}f^{\prime}(x, y)&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />u_{x} &amp; u_{y} \\<br />v_{x} &amp; v_{y}<br />\end{array}\right)\\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />2(x-2 y) &amp; -4(x-2 y) \\<br />6 x^{2} &amp; 3 y^{2}<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x, y)=(1,1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.215ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5840.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11468-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11468-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1405.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1895.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2562.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3618.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4007.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4507.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4951.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5451.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-11468-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>\begin{align*}f^{\prime}(1,1)=\left(\begin{array}{cc}<br />-2 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 3<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Ableitung (Jakobi-Matrix) der Verknüpfung $g=f \circ f:$</p>


<p>Ableitung (Jakobi-Matrix) der Verknüpfung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="g=f \circ f:" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.979ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 4410.8 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11470-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-11470-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11470-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-11470-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path><path id="MJX-11470-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(754.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1810.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2582.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-N-2218"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3305, 0)"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4132.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11470-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Multivariate Kettenregel<br />\[<br />g^{\prime}(x, y)=f^{\prime}(f(x, y)) \cdot f^{\prime}(x, y)<br />\]</p>


<p>Multivariate Kettenregel<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g^{\prime}(x, y)=f^{\prime}(f(x, y)) \cdot f^{\prime}(x, y)
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.63ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 12654.4 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11471-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-11471-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 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<p>Bestimme $ f^{\prime}(f(x, y)) $  mit $(x, y)=(1,1)$</p>


<p>Bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f^{\prime}(f(x, y)) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.091ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4460.1 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11472-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path 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<p>\begin{align*}<br />f(1,1)&amp;=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right) \\</p>
<p>\Rightarrow \quad f^{\prime}(f(1, 1))&amp;=f^{\prime}(1,3)=\left(\begin{array}{cc}-10 &amp; 20 \\ 6 &amp; 27\end{array}\right)<br />\end{align*}</p>


<p>Produkt der Jacobi-Matrizen $ g^{\prime}(x, y)=f^{\prime}(f(x, y)) \cdot f^{\prime}(x, y) $:</p>


<p>Produkt der Jacobi-Matrizen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g^{\prime}(x, y)=f^{\prime}(f(x, y)) \cdot f^{\prime}(x, y) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.63ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 12654.4 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11475-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path 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<p>\begin{align*}g^{\prime}(1,1)&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />-10 &amp; 20 \\<br />6 &amp; 27<br />\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}<br />-2 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 3<br />\end{array}\right)\\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />140 &amp; 20 \\<br />150 &amp; 105<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Ableitung (Jacobi-Matrix) von $h=f^{-1}$ :</p>


<p>Ableitung (Jacobi-Matrix) von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="h=f^{-1}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.842ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3466.2 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11477-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-11477-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11477-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-11477-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11477-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11477-TEX-I-210E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(853.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11477-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1909.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11477-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(603, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11477-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-11477-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>Satz über inverse Funktionen:<br />\[<br />h^{\prime}(u, v)=f^{\prime}(x, y)^{-1}, \quad(u, v)^{t}=f(x, y)<br />\]</p>


<p>Satz über inverse Funktionen:<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
h^{\prime}(u, v)=f^{\prime}(x, y)^{-1}, \quad(u, v)^{t}=f(x, y)
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.822ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 16717.3 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11478-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-11478-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-11478-TEX-N-28" d="M94 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<p>mit $(x, y)=(1,1),(u, v)=(1,3)$ folgt:</p>


<p>mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x, y)=(1,1),(u, v)=(1,3)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.424ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 12121.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11479-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 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291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-11479-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1405.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1895.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2562.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3618.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4007.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4507.2, 0)"><use 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transform="translate(9898.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10287.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10787.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11232.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11732.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11479-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\begin{aligned}<br />h^{\prime}(1, 3)&amp;=f^{\prime}(1, 1)^{-1}\\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}<br />-2 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 3<br />\end{array}\right)^{-1}<br />\end{aligned}</p>


<p>Das Inverse einer 2x2 Matrix $M=\left(\begin{array}{ll}a &amp; b \\ c &amp; d\end{array}\right)$ ist: $M^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}d &amp; -b \\ -c &amp; a\end{array}\right)$</p>


<p>Das Inverse einer 2x2 Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.361ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 5905.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11481-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 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<p>\begin{align*}h^{\prime}(1,3)=\left(\begin{array}{cc}<br />-2 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 3<br />\end{array}\right)^{-1}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{30}\left(\begin{array}{cc}<br />-3 &amp; 4 \\<br />6 &amp; 2<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Berechnen für<br />\[<br />f:\left(\begin{array}{l}<br />x \\<br />y<br />\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}<br />u \\<br />v<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}<br />(x-2 y)^{2} \\<br />2 x^{3}+y^{3}<br />\end{array}\right)<br />\]</p>
<p> </p>
<p>die Ableitung $f^{\prime}$ und die Ableitung der Verknüpfung mit sich selbst $(f \circ f)^{\prime}$ jeweils an der Stelle $(x, y)=(1,1)$ sowie die Ableitung der Inversen $\left(f^{-1}\right)^{\prime}$ an der Stelle<br />\[<br />(u, v)=f(1,1)<br />\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz über Umkehrabbildungen (lokal) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen (mehrdimensionale) - Satz über Umkehrabbildungen (lokal) | 

<p>Für $2\times 2$-Matrizen lohnt es sich ggf. die allgemeine Formel zu merken:</p>
<p>\begin{align*}A^{-1} &amp;=\frac{1}{a d-b c} \cdot \left(\begin{array}{cc}d &amp; -b \\-c &amp; a\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2\times 2" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-647-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-647-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-647-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-647-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-647-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrizen lohnt es sich ggf. die allgemeine Formel zu merken:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}A^{-1} &=\frac{1}{a d-b c} \cdot \left(\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.729ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 12256.1 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-648-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-648-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-648-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-648-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1736.7,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-648-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1536.7,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-648-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-648-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-648-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1271.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-648-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" 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<h2 class="content_sub_heading">Inverse mittels Adjunkter bestimmen</h2>
<ol>
<li>Bestimme die Determinante von $A$. Sollte die Determinante Null sein, so existiert keine Inverse.<br /><br /></li>
<li>Bilde die Einträge $a^\prime_{i,j}$ (auch Kofaktoren genannt). Berechne dazu jeweils die Determinante der Matrix, welche durch Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte entsteht (Unterdeterminante, Minor) und multipliziere sie mit dem Faktor $(-1)^{i+j}$.<br /><strong>Kurz:</strong> $a^\prime_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det\bigg(\text{Matrix A, ohne i-te Zeile und j-te Spalte}\bigg)$<br /><strong>Merke:</strong> $(-1)^{i+j}$ gibt ein positives Vorzeichen für $i+j$ gerade und ein negatives für $i+j$ ungerade. Als Merkhilfe kannst du das Schachbrettmuster nutzen:<br />\begin{align*}\\ \left[\begin{array}{ccccc}+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp; \ldots \\\color{#DC6955}{-}&amp; + &amp; \color{#DC6955}{-} &amp; \ldots \\+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp;\ldots \\ \vdots &amp; \vdots &amp;\vdots &amp; \ddots\end{array}\right]\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Setze alle Berechnungen in die folgende Formel ein und bilde die Transponierte der Kofaktormatrix: <br />
<p>\begin{align*}\quad A^{-1}&amp;=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot \operatorname{adj}(A) \\</p>
<p>&amp;= \frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot \left(\begin{array}{cccc}</p>
<p>a_{1,1}^{\prime} &amp; a_{1,2}^{\prime} &amp; \dots &amp; a_{1, n}^{\prime} \\</p>
<p>a_{2,1}^{\prime} &amp; a_{2,2}^{\prime} &amp; \dots &amp; a_{2, n}^{\prime} \\</p>
<p>\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\</p>
<p>a_{n, 1}^{\prime} &amp; a_{n, 2}^{\prime} &amp; \dots &amp; a_{n, n}^{\prime}</p>
<p>\end{array}\right)^{T} \end{align*}</p>
</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Jacobi-Matrix berechnen</h2>
<ol>
<li>Leite $f_{1}, \ldots, f_{m}$ jeweils partiell nach allen Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ab.<br /><br /></li>
<li>Trage diese partiellen Ableitungen an der Stelle $x_0$ so in die Form für die Jacobi-Matrix ein: <br /><br />$J_{f}\left(x_{0}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\left(x_{0}\right) &amp; \cdots &amp; \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\left(x_{0}\right) \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}\left(x_{0}\right) &amp; \cdots &amp; \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\left(x_{0}\right)\end{array}\right)$</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: