Implizite Funktionen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Anwendungen der partiellen Ableitung:

• Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
• Gradientenberechnung
• Talorreihen
• Ableitungen von impliziten Funktionen

Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :

Implizite Funktionen sind reelle Funktionen, die die Form haben. Also Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung angegeben sind.

Diese entstehen oft aus dem Grund, dass es nicht immer möglich ist eine reelle Funktion mithilfe einer expliziten Zuordnungsvorschrift der Form eindeutig darzustellen.

Beispiel:

Die Gleichung ist eine implizite Funktion, da sie von der Form ist.

Wenn du die Gleichung nun nach auflöst, erhältst du:  

Wie du siehst, hat die Auflösung nach mehrere Lösungen (wegen ), sie ist also nicht eindeutig.

Satz von der impliziten Funktion:

Der Satz über die impliziete Funktion beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung oder ein Gleichungssysteme (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann. Er lautet wie folgt:

Ableiten einer implizieten Funktion:

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit impliziete Funktionen mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten. Sie wird auch oft dafür benutzt, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu berechnen.

Implizite Funktionen sind reelle Funktionen, die die Form haben. Also Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung angegeben sind.

Diese entstehen oft aus dem Grund, dass es nicht immer möglich ist eine reelle Funktion mithilfe einer expliziten Zuordnungsvorschrift der Form eindeutig darzustellen.

Beispiel:

Die Gleichung ist eine implizite Funktion, da sie von der Form ist.

Wenn du die Gleichung nun nach auflöst, erhältst du:  

Wie du siehst, hat die Auflösung nach mehrere Lösungen (wegen ), sie ist also nicht eindeutig.

Satz von der impliziten Funktion:

Der Satz über die impliziete Funktion beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung oder ein Gleichungssysteme (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann. Er lautet wie folgt:

Ableiten einer implizieten Funktion:

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit impliziete Funktionen mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten. Sie wird auch oft dafür benutzt, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu berechnen.

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Berechne .

Für welche -Werte existiert diese Ableitung und in welchen Punkten wird sie Null?

Es sei die Funktion gegeben mit:

Überprüfe mit Hilfe des Satzes der impliziten Funktionen, ob in einer Umgebung von

auflösbar ist nach:

1.

2.

3.

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Ist die implizite Funktion für alle Werte, welche die Gleichung erfüllen, nach auflösbar?

Berechne die ersten beiden Ableitungen und

Begründe, dass sich in der Umgebung jedes als Graph einer Funktion darstellen lässt.

Berechne dort den Gradienten von .

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Berechne die erste Ableitung .

Es sei

und

1. Begründe: Zu jedem gibt es eine Umgebung in der sich als Graph einer Funktion darstellen lässt.
2. Berechne deren Gradienten