Partielle Ableitungen (Gradient)

Die Produktregel (auch Leibnizregel) findet Anwendung in der Differentialrechnung. Sie hilft dabei, die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen zu vereinfachen, indem sie diese auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückführt. Um die Produktregel richtig anzuwenden, kannst du wie folgt vorgehen:

Die Kettenregel ist eine der grundlegensten Regeln in der Differentialrechnung. Wie der Name schon verrät, trifft sie Aussagen über die Ableitung einer Funktion, die sich als Verkettung differenzierbarer Teilfunktionen darstellen lässt. Die Kettenregel sagt zum einen aus, dass eine solche Funktion selbst auch differenzierbar ist und dass man ihre Ableitung über das seperate Ableiten der verketteten Teilfunktionen erhält.

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Der Gradient ist ein Vektor, der in jedem Punkt in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Um ihn zu berechnen genügt es, alle partiellen Ableitungen zu bestimmen und den Punkt, den du untersuchen willst, einzusetzen. 

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht. 

Bestimme den Gradienten der folgenden Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Berechne für die Funktion:

die . partiellen Ableitungen von und den Gradienten.

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Bilde die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion: