Existenz von partiellen Ableitungen

Definition

Existenz von partiellen Ableitungen

Sei . Ganz allgemein sagt man, dass die partielle Ableitung nach mit an der Stelle existiert, wenn gilt:

mit ist der Einheitsvektor in - Richtung.

Das sieht erstmal kompliziert aus, ist aber in der Praxis ganz einfach:

Für bedeutet diese Definition die Existenz der Tangenten in - und -Richtung (an der Stelle .

gewöhnliche Ableitung nach (bei festem )

beziehungsweise:

gewöhnliche Ableitung nach (bei festem )

Hinweis

Die elementaren (gewöhnlichen) Funktionen besitzen in der Regel eine partielle Ableitung. Deswegen werden immer nur bestimmte (kritsche) Punkte untersucht.

Vorgehen

Existenz von partiellen Ableitungen

  1. Setze in deine mehrdimensionale Funktion das Folgende ein:


  2. Bestimme den Grenzwert:


  3. Wenn dieser Grenzwert existiert (), existiert auch die partielle Ableitung in diesem Punkt in Richtung