Stetigkeit (mehrdimensional)

Partielle Ableitungen (Gradient)

Produktregel

Kettenregel

Ableitungsregeln (Übersicht)

Partielle Ableitungen

Der Gradient

Existenz von partiellen Ableitungen

Satz von Schwarz

Richtungsableitung

Existenz der Richtungsableitung

Skalarprodukt

Rechnen mit Vektoren

Multiindex-Notation

Differenzierbarkeit (total, partiell, Richtung)

Totale Differenzierbarkeit

Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

Jacobi-Matrix

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix

Extrema (mehrdimensional)

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

Definitheit von Matrizen

Mehrdimensionale Extremstellen

Hauptminorantenkriterium

Definitheitsbestimmung über Eigenwertmethode

Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Gleichungssysteme lösen

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f_{x}&amp;=-\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x+2 y}} \\\\</p>
<p>f_{y}&amp;=\frac{2}{\mathrm{e}^{-x-2 y}+1}\end{align*}\]</p>

<p>Partielle Ableitung nach $x$ (dabei wird $y$ als Konstant behandelt):</p>


<p>Partielle Ableitung nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-99-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-99-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (dabei wird <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-100-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-100-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Konstant behandelt):</p>


<p>Verwende die Kettenregel mit: $v=\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}$</p>


<p>Verwende die Kettenregel mit: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v=\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.008ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 5749.6 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-101-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-101-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-101-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1818.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3522.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4522.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f_{x}&amp;=\frac{\mathrm{d} \ln v}{\mathrm{d} v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{v}\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\\\\</p>
<p>&amp;=-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}}\\\\</p>
<p>&amp;=-\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x+2 y}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Partielle Ableitung nach $y$ (dabei wird $x$ als Konstant behandelt):</p>


<p>Partielle Ableitung nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-103-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-103-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (dabei wird <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-104-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-104-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Konstant behandelt):</p>


<p>\[\begin{align*}f_{y}&amp;=\frac{2 \mathrm{e}^{2 y}}{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}}\\\\</p>
<p>&amp;=\frac{2}{\mathrm{e}^{-x-2 y}+1}\end{align*}\]</p>

<p>Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:</p>
<p>\[\begin{align*}f(x, y)=\ln \left(\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}\right)\end{align*}\]</p>

<p>Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}f(x, y)=\ln \left(\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{2 y}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -0.83ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.661ex" height="2.791ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -866.7 10016 1233.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-98-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-98-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-98-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-98-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-98-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-17.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3112.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4168.2,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5002.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5168.9,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-98-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2161.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3162,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4389.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-98-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Ableitungen (Gradient) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Grundlagen - Partielle Ableitungen (Gradient) | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Produktregel</h2>
<p>Wenn deine Funktion aus einem Produkt von Teilfunktionen besteht $f(x)=u(x) \cdot v(x),$ so gehe zum Ableiten wie folgt vor:</p>
<ol>
<li>Identifiziere $u(x)$ und $v(x)$</li>
<li>
<p>Berechne $u^{\prime}(x)$ und $v^{\prime}(x)$ indem du $u(x)$ und $v(x)$ einzeln ableitest.</p>
</li>
<li>
<p>Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Produktregel ein: $$f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Kettenregel</h2>
<p>Willst du eine Funktion aus verketteten Teilfunktionen $f(x)=g(h(x))$ ableiten, so gehe wie folgt vor:</p>
<ol>
<li>Identifiziere $g(x)$ und $h(x)$.</li>
<li>Bereche $g^{\prime}(x)$ und $h^{\prime}(x)$ indem du $g(x)$ und $h(x)$ einzeln ableitest.</li>
<li>Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Kettenregel ein: <br />$$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \\cdot h^{\prime}(x)$$</li>
</ol>
<p> </p>
<p>Hinweis: Die Multiplikation mit $ h^{\\prime}(x)$ nennt man auch "Nachdifferenzieren".</p>



<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient</h2>
<p>Der Gradient $grad(f) = \nabla f$ einer Funktion $f(x_1,x_2,...,x_n)$ ist ein Vektor. Seine Einträge bestehen jeweils aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktion $f(x_1,x_2,...,x_n)$.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient</h2>
<p>Der Gradient <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="grad(f) = \nabla f" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.623ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6021.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-870-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-870-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-870-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-870-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-870-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-870-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-870-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-870-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-870-TEX-N-2207" d="M46 676Q46 679 51 683H781Q786 679 786 676Q786 674 617 326T444 -26Q439 -33 416 -33T388 -26Q385 -22 216 326T46 676ZM697 596Q697 597 445 597T193 596Q195 591 319 336T445 80L697 596Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(477,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(928,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1457,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1977,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-870-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2366,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2916,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-870-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3582.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-870-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4638.6,0)"><use data-c="2207" xlink:href="#MJX-870-TEX-N-2207"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5471.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-870-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> einer Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x_1,x_2,...,x_n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.046ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7092.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-871-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-871-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-871-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-871-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1947.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2392.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3400.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3845.4,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4290.1,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4734.8,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5179.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5624.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-871-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6703.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-871-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist ein Vektor. Seine Einträge bestehen jeweils aus den ersten partiellen Ableitungen der Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x_1,x_2,...,x_n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.046ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7092.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-872-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-872-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-872-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1947.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2392.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3400.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3845.4,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4290.1,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4734.8,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5179.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5624.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6703.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Der Gradient ist also ein Vektor, der an jedem Punkt im Raum in Richtung der steilsten Steigung zeigt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient aufstellen</h2>
<p>Bestimme alle partiellen Ableitungen und schreibe sie in einen Vektor. $$grad(f) = \nabla f = \left(\begin{array}{c}f_{x_{1}} \\ f_{x_{2}} \\ \vdots \\ f_{x_{n}}\end{array}\right)$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gradient aufstellen</h2>
<p>Bestimme alle partiellen Ableitungen und schreibe sie in einen Vektor. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="grad(f) = \nabla f = \left(\begin{array}{c}f_{x_{1}} \\ f_{x_{2}} \\ \vdots \\ f_{x_{n}}\end{array}\right)" style="vertical-align: -5.966ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.623ex" height="13.063ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3136.8 10441.3 5773.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-873-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-2207" d="M46 676Q46 679 51 683H781Q786 679 786 676Q786 674 617 326T444 -26Q439 -33 416 -33T388 -26Q385 -22 216 326T46 676ZM697 596Q697 597 445 597T193 596Q195 591 319 336T445 80L697 596Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-22EE" d="M78 30Q78 54 95 72T138 90Q162 90 180 74T199 31Q199 6 182 -12T139 -30T96 -13T78 30ZM78 440Q78 464 95 482T138 500Q162 500 180 484T199 441Q199 416 182 398T139 380T96 397T78 440ZM78 840Q78 864 95 882T138 900Q162 900 180 884T199 841Q199 816 182 798T139 780T96 797T78 840Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-873-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(477,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(928,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1457,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1977,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2366,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2916,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3582.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4638.6,0)"><use data-c="2207" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-2207"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5471.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6299.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7355.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="239B" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239B" transform="translate(0,1982.8)"></use><use data-c="239D" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239D" transform="translate(0,-1992.8)"></use><svg width="875" height="2355.7" y="-927.8" x="0" viewBox="0 531.9 875 2355.7"><use data-c="239C" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239C" transform="scale(1,5.699)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,2386.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(25,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,980.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(25,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-975.3)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(529.1,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="22EE" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-22EE"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-2375.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2211.2,0)"><use data-c="239E" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239E" transform="translate(0,1982.8)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1992.8)"></use><svg width="875" height="2355.7" y="-927.8" x="0" viewBox="0 531.9 875 2355.7"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-873-TEX-S4-239F" transform="scale(1,5.699)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die elementaren (gewöhnlichen) Funktionen besitzen in der Regel eine partielle Ableitung. Deswegen werden immer nur bestimmte (kritsche) Punkte untersucht.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Existenz von partiellen Ableitungen</h2>
<p>Sei $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ . Ganz allgemein sagt man, dass die partielle Ableitung nach $x_i$ mit $i \in n$ an der Stelle $a \in \mathbb{R}^{n}$ existiert, wenn gilt:</p>
<p>$$D_{x_i} f(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(a+h \cdot e_{i}\right)-f(a)}{h}$$</p>
<p>mit $e_{i}=(0,0, \ldots, 0, {1}, 0, \ldots, 0)$ ist der Einheitsvektor in $x_i$ - Richtung.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Existenz von partiellen Ableitungen</h2>
<ol>
<li>Setze in deine mehrdimensionale Funktion das Folgende ein:<br />\[ \vec{a} + h\cdot \vec{e}_i\]<br /><br /></li>
<li>Bestimme den Grenzwert:<br />\[ D_{x_i} f(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(a+h \cdot e_{i}\right)-f(a)}{h} \]<br /><br /></li>
<li>Wenn dieser Grenzwert existiert ($\neq \pm \infty$), existiert auch die partielle Ableitung in diesem Punkt in Richtung $x_i$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p>\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}</p>



<h2 class="content_sub_heading">Satz von Schwarz</h2>
<p>Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.414ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 16094.9 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-975-TEX-I-1D715" d="M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 306Z"></path><path id="MJX-975-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-975-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-975-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-975-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-975-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-975-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-975-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-975-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-975-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mi" transform="translate(506,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1338" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1578,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-975-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D466"></use></g></g><rect width="1256" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2232,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2782,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3171,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3743,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4187.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4677.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5066.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-975-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7658.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(8714.2,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(465,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D466"></use></g></g><rect width="1256" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(10210.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-975-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(506,676)"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1338" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2314,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2864,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3253,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3825,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4269.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-975-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4759.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-975-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5148.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-975-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. </p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: